"Физика (углублённый уровень)", Кабардин О.Ф., Глазунов А.Т., Орлов В.А. и др. / Под ред. Пинского А.А., Кабардина О.Ф.
Катушка препятствует изменению тока из-за самоиндукции: возникающая ЭДС направлена против этого изменения. Для переменного тока такое действие описывают индуктивным сопротивлением Xₗ = ωL = 2πfL. Оно измеряется в омах и увеличивается с частотой тока и индуктивностью катушки. В идеальной катушке ток отстаёт от напряжения на четверть периода, а энергия не рассеивается, а переходит в магнитное поле и возвращается источнику.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Индуктивность — физическая величина L, характеризующая способность катушки препятствовать изменению тока; измеряется в генри (Гн). Чем больше L, тем сильнее проявляется самоиндукция при одинаковом изменении тока. Зная индуктивность, можно оценить, насколько катушка будет влиять на переменный ток.
Индуктивное сопротивление — величина Xₗ, показывающая сопротивление катушки переменному току; оно определяется формулой Xₗ = ωL и измеряется в омах. Это не сопротивление провода, а эффект самоиндукции. В отличие от обычного резистора, его величина зависит от частоты переменного тока.
Угловая частота ω связана с частотой переменного тока формулой ω = 2πf, где f — число периодов за секунду. Её измеряют в радианах в секунду. Угловая частота нужна в формулах для синусоидальных колебаний и позволяет учитывать скорость изменения тока.
Сдвиг фаз — разность фаз между напряжением и током; в идеальной катушке напряжение опережает ток на π/2. Это означает, что максимумы напряжения наступают на четверть периода раньше максимумов тока. Знание сдвига фаз помогает понять, как катушка обменивается энергией с источником.
Когда ток в катушке меняется, меняется и создаваемое им магнитное поле. Изменение поля вызывает ЭДС индукции в самой катушке — это явление называют самоиндукцией. По правилу Ленца её направление таково, что она противодействует причине возникновения, то есть изменению тока: при нарастании тока ЭДС мешает его росту, а при убывании поддерживает ток.
Для катушки закон самоиндукции записывают через скорость изменения тока: ЭДС равна −L·di/dt. Знак минус указывает на противодействие изменению; напряжение на выводах катушки при выбранном направлении отсчёта выражают как u = L·di/dt. Если ток меняется синусоидально, например i(t) = Iₘ sin(ωt), его производная равна ωIₘ cos(ωt). Поэтому напряжение тоже меняется синусоидально, его амплитуда Uₘ = ωLIₘ.
Отношение амплитуд напряжения и тока равно Uₘ/Iₘ = ωL. Эту величину называют индуктивным сопротивлением Xₗ, поэтому Xₗ = ωL = 2πfL. При большей частоте ток меняется быстрее, а значит, быстрее меняется магнитное поле и сильнее ЭДС самоиндукции. При большей индуктивности эффект также усиливается, поэтому Xₗ возрастает и с f, и с L.
Для действующих значений синусоидального тока и напряжения в идеальной катушке выполняется I = U/Xₗ. Это соотношение похоже на закон Ома, но не означает, что катушка превращает электрическую энергию в тепло. Она запасает энергию в магнитном поле, пока ток растёт, и возвращает её источнику, когда ток убывает. У реальной катушки есть сопротивление провода, поэтому она может нагреваться.
Если ток задан синусоидой, напряжение пропорционально производной тока, а производная синуса — косинус. Косинус опережает синус на π/2, поэтому напряжение в идеальной катушке опережает ток на четверть периода. Энергия при этом периодически переходит из источника в магнитное поле и обратно. За полный период чистого расхода энергии нет, и средняя активная мощность идеальной катушки равна нулю.
| Параметр | Обозначение | Формула или значение | Зависимость от частоты |
|---|---|---|---|
| Индуктивность | L | Характеристика катушки, Гн | Не зависит |
| Угловая частота | ω | ω = 2πf | Прямо пропорциональна f |
| Индуктивное сопротивление | Xₗ | Xₗ = ωL = 2πfL, Ом | Растёт пропорционально f |
| Действующее значение тока | I | I = U/Xₗ | При постоянном U уменьшается |
| Сдвиг фаз между напряжением и током | φ | π/2; U опережает I | Не зависит |
| Средняя мощность идеальной катушки | P | 0 | Не зависит |
| Единица измерения | — | Xₗ измеряется в омах (Ом) | Не зависит |
Пользуйся таблицей, чтобы выбрать нужную формулу: сначала по частоте и индуктивности находят Xₗ, затем — ток или напряжение. Столбец зависимости показывает, что именно изменится при изменении частоты, если остальные условия неизменны. Для строки тока предполагается постоянное действующее напряжение.
Катушка индуктивностью 0,20 Гн подключена к источнику переменного тока частотой 50 Гц. Найдём Xₗ. Частота дана в герцах, а в формуле Xₗ = ωL нужно учесть связь ω = 2πf, поэтому используем Xₗ = 2πfL.
Ответ: индуктивное сопротивление катушки примерно равно 63 Ом. При увеличении частоты оно стало бы больше, если бы индуктивность не менялась.
На катушке с индуктивностью 0,10 Гн действует переменное напряжение с действующим значением 12 В и частотой 100 Гц. Требуется найти действующее значение тока. Сначала вычислим сопротивление катушки, затем применим соотношение для действующих значений I = U/Xₗ.
Ответ: I ≈ 0,19 А. Частота и индуктивность здесь определяют, насколько сильно катушка ограничивает ток.
Ток в идеальной катушке задан как i(t) = Iₘ sin(ωt). Нужно записать напряжение, найти его амплитуду и установить, какая величина опережает. Используем связь u = L·di/dt: сначала дифференцируем ток, затем сравниваем полученную функцию с исходной.
Ответ: u(t) = ωLIₘ cos(ωt), Uₘ = ωLIₘ; напряжение опережает ток на π/2.
Ошибка: записать Xₗ = L/f вместо Xₗ = 2πfL. Так происходит, когда индуктивное сопротивление путают с величинами, обратно зависящими от частоты. Проверь себя: из Xₗ = ωL и ω = 2πf следует прямая пропорциональность частоте, а при f = 0 сопротивление самоиндукции должно исчезать.
Ошибка: подставить f непосредственно вместо ω и забыть множитель 2π. Частоту в герцах иногда принимают за угловую частоту, хотя это разные величины. Перед вычислением проверь единицы и запиши отдельный шаг ω = 2πf.
Ошибка: считать, что в катушке ток опережает напряжение. Путаница возникает из-за неверного чтения сдвига фаз или смешения катушки с конденсатором. Для проверки продифференцируй i(t) = Iₘ sin(ωt): получится напряжение, пропорциональное cos(ωt), которое опережает синус на π/2.
Ошибка: полагать, что идеальная катушка полностью расходует электрическую энергию. Так думают, перенося на неё свойства нагревающегося резистора. Проверь себя по обмену энергией: поле сначала получает энергию, а затем возвращает её, поэтому средняя активная мощность за период равна нулю.
Для понимания индуктивного сопротивления нужны закон электромагнитной индукции, самоиндукция и представление об индуктивности. Также пригодятся синусоидальный ток, частота и действующие значения напряжения и тока. Дальше это знание используется при изучении ёмкостного сопротивления, полного сопротивления и последовательных цепей с резистором, катушкой и конденсатором. Расчёты индуктивного сопротивления важны для трансформаторов, электродвигателей, фильтров и других цепей переменного тока.
Почему катушка почти не сопротивляется постоянному току, но сопротивляется переменному?
После включения постоянного тока он перестаёт изменяться, поэтому ЭДС самоиндукции исчезает. В переменном токе сила и направление тока постоянно меняются, а катушка противодействует этим изменениям. Реальная катушка всё же имеет сопротивление провода.
Чем индуктивное сопротивление отличается от сопротивления резистора?
Резистор необратимо превращает электрическую энергию в тепло, а идеальная катушка периодически запасает энергию в магнитном поле и отдаёт её обратно. Кроме того, сопротивление резистора не зависит от частоты в идеальной модели, а Xₗ = 2πfL растёт с частотой. В катушке ток и напряжение сдвинуты по фазе.
Почему в формуле X_L = 2πfL частота находится в числителе?
Чем чаще меняется ток, тем быстрее меняется магнитное поле катушки и тем больше ЭДС самоиндукции препятствует этому изменению. Поэтому при неизменной индуктивности рост частоты увеличивает индуктивное сопротивление. При f = 0 переменная составляющая сопротивления равна нулю.
Что именно опережает: ток напряжение или напряжение ток?
В идеальной катушке напряжение опережает ток на π/2, то есть на четверть периода. Поэтому говорят, что ток отстаёт от напряжения. Это следует из того, что напряжение пропорционально скорости изменения тока.
Расходует ли идеальная катушка энергию переменного тока?
Нет: идеальная катушка не рассеивает энергию, а временно запасает её в магнитном поле и затем возвращает источнику. Поэтому за целый период средняя активная мощность равна нулю. В реальной катушке часть энергии нагревает провод и сердечник.
§ 9. Индуктивное сопротивление
