"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
В цепи переменного тока напряжение и сила тока периодически меняются, поэтому их связь зависит не только от сопротивления проводника, но и от катушек и конденсаторов. Для синусоидального тока используют действующие значения и учитывают фазовый сдвиг между током и напряжением. В последовательной цепи полное сопротивление складывается из активной и реактивной составляющих. При их компенсации возникает резонанс: сопротивление становится минимальным, а ток — максимальным.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переменный ток — ток, который периодически изменяется со временем. В этой теме рассматривается синусоидальный ток: его мгновенное значение меняется по закону синуса или косинуса. Такое описание позволяет связать переменный ток с периодическими колебаниями и определить его амплитуду и частоту.
Действующее значение переменного тока — значение постоянного тока, который за то же время выделил бы в сопротивлении такое же количество теплоты. Для синусоидального тока действующее значение I связано с амплитудой Iₘ формулой I = Iₘ/√2; аналогично U = Uₘ/√2. Именно действующие значения обычно показывают приборы и используют в расчётах цепей.
Полное сопротивление — величина, учитывающая активное сопротивление проводника и реактивное влияние катушки и конденсатора. В последовательной цепи RLC оно равно Z = √(R² + (X_L − X_C)²), где X_L и X_C — индуктивное и ёмкостное сопротивления. Эта величина нужна, чтобы связать действующие напряжение и ток в цепи, где есть не только резистор.
Резонанс в электрической цепи — резкое возрастание силы тока, когда частота внешнего напряжения совпадает с собственной частотой колебательного контура. В последовательной цепи это происходит при равенстве индуктивного и ёмкостного сопротивлений. Понятие резонанса помогает определить частоту, при которой ток достигает наибольшего значения.
На активном сопротивлении напряжение и ток изменяются синфазно: они одновременно достигают максимума и одновременно проходят через ноль. Поэтому между ними сохраняется такое же соотношение, как в цепи постоянного тока, только используют действующие значения: U = IR. Это происходит потому, что резистор не накапливает энергию и не возвращает её в цепь, а превращает электрическую энергию в тепло.
В катушке меняющийся ток создаёт меняющееся магнитное поле, а оно порождает ЭДС самоиндукции. По правилу Ленца эта ЭДС препятствует изменению тока, поэтому напряжение на катушке и ток оказываются сдвинуты по фазе: ток отстаёт. Индуктивное сопротивление X_L = ωL тем больше, чем выше циклическая частота ω, ведь при быстрых изменениях тока противодействие самоиндукции сильнее.
В конденсаторе переменное напряжение то заряжает обкладки, то разряжает их, поэтому ток связан со скоростью изменения заряда. Из-за этого ток опережает напряжение по фазе. Ёмкостное сопротивление X_C = 1/(ωC) уменьшается при росте частоты: конденсатор не успевает накопить большой заряд за короткий период, и переменному току становится легче проходить.
В последовательной цепи с резистором, катушкой и конденсатором сдвиги фаз противоположны: катушка задерживает ток, а конденсатор способствует его опережению. Поэтому их реактивные сопротивления не складывают как обычные положительные сопротивления, а находят разность X_L − X_C. Эта разность вместе с активным сопротивлением задаёт полное сопротивление Z = √(R² + (X_L − X_C)²), после чего закон Ома принимает вид I = U/Z.
Если X_L = X_C, реактивные влияния катушки и конденсатора взаимно компенсируются. Тогда полное сопротивление последовательной цепи становится минимальным и равно R, а сила тока при заданном напряжении — максимальной: наступает резонанс. Его частота определяется условием ωL = 1/(ωC), откуда ω₀ = 1/√(LC); именно около неё ток резко возрастает по сравнению с соседними частотами.
| Элемент цепи | Соотношение фаз тока и напряжения | Сопротивление | Зависимость от частоты |
|---|---|---|---|
| Активное сопротивление | Ток и напряжение синфазны | R | В идеальной модели не зависит от частоты |
| Катушка индуктивности | Ток отстаёт от напряжения | X_L = ωL | Растёт с частотой |
| Конденсатор | Ток опережает напряжение | X_C = 1/(ωC) | Уменьшается с частотой |
Сначала определите, какие элементы входят в цепь, и по строке таблицы установите их свойства. Для последовательной цепи найдите X_L и X_C, а затем учтите их разность при расчёте полного сопротивления. Таблица помогает проверить и направление сдвига фаз, и зависимость сопротивления от частоты.
Задача 1. К резистору сопротивлением 20 Ом приложено действующее напряжение 100 В. Найдём действующую силу тока. Поскольку цепь содержит только активное сопротивление, ток и напряжение связаны обычным законом Ома.
Ответ: действующая сила тока равна 5 А. Здесь не требуется находить амплитуду: заданы и искомое действующее значение, и действующее напряжение.
Задача 2. Последовательно соединены резистор R = 10 Ом, катушка L = 0,1 Гн и конденсатор C = 100 мкФ. Частота равна 50 Гц, действующее напряжение — 100 В. Найдём полное сопротивление и действующий ток, сначала определив реактивные сопротивления.
Ответ: Z ≈ 10,01 Ом, I ≈ 9,99 А. Почти равные реактивные сопротивления взаимно компенсируются, поэтому результат близок к току при одном резисторе.
Задача 3. В последовательной цепи L = 0,2 Гн, C = 50 мкФ, R = 8 Ом, а действующее напряжение равно 24 В. Найдём резонансную частоту и ток при резонансе. На резонансе нужно приравнять сопротивления катушки и конденсатора, а затем использовать минимальное сопротивление цепи.
Ответ: f₀ ≈ 50,3 Гц, ток при резонансе равен 3 А. Сначала нашли частоту компенсации реактивных сопротивлений, затем применили закон Ома для оставшегося активного сопротивления.
Использовать только активное сопротивление в любой цепи. Так делают, перенося закон Ома для резистора на цепь с катушкой и конденсатором. Но реактивные элементы изменяют соотношение фаз и влияют на ток, поэтому для последовательной цепи находят полное сопротивление Z. Проверьте себя: если в условии есть L или C, выясните, нужно ли учитывать X_L и X_C.
Складывать X_L и X_C без учёта их противоположного влияния. Оба значения положительны, поэтому легко решить, что их надо просто сложить. Однако катушка и конденсатор дают противоположные сдвиги фаз, и в формуле стоит разность X_L − X_C. Самопроверка: при X_L = X_C реактивный вклад должен обратиться в ноль.
Путать, какой элемент вызывает опережение тока. Ошибка возникает, если запомнить только наличие сдвига фаз, не связывая его с процессами в элементе. В конденсаторе ток опережает напряжение, а в катушке отстаёт; на резисторе они синфазны. Проверяйте, не перепутаны ли эти три случая, перед тем как объяснять фазовый сдвиг.
Считать, что при резонансе ток исчезает или сопротивление становится бесконечным. Такое представление может возникнуть из-за идеи о взаимном «гашении» элементов. Компенсируются только реактивные сопротивления, а активное остаётся, поэтому в последовательной цепи Z = R и ток максимален. Для проверки подставьте X_L = X_C в формулу полного сопротивления.
Для изучения переменного тока нужны закон Ома, понятия силы тока, напряжения и сопротивления, а также представление о синусоидальных колебаниях. Работа катушки связана с электромагнитной индукцией и самоиндукцией, а поведение конденсатора и катушки — с электрическими колебаниями. Эти понятия применяются при изучении трансформаторов и принципов работы электрических цепей. Резонанс помогает понять, почему отклик цепи зависит от частоты внешнего источника.
Почему закон Ома для переменного тока нельзя всегда записать только через активное сопротивление?
Катушка и конденсатор влияют на ток иначе, чем резистор: они создают сдвиг фаз между током и напряжением. Поэтому в цепи с такими элементами закон Ома записывают через полное сопротивление Z, которое учитывает активное и реактивное сопротивления.
Как определить, опережает ток напряжение или отстаёт от него?
В конденсаторе ток опережает напряжение, а в катушке отстаёт. На активном сопротивлении ток и напряжение изменяются синфазно — достигают максимумов и нулей одновременно.
Почему индуктивное сопротивление увеличивается с частотой?
Чем быстрее меняется ток, тем сильнее катушка препятствует этому изменению благодаря самоиндукции. Поэтому индуктивное сопротивление вычисляют по формуле X_L = ωL и оно растёт вместе с частотой.
Что происходит с током в цепи при резонансе?
При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления равны и компенсируют друг друга. В последовательной цепи полное сопротивление тогда равно активному и ток достигает максимума.
Как найти частоту, при которой возникает резонанс?
Нужно приравнять индуктивное сопротивление ёмкостному: ωL = 1/(ωC). Отсюда циклическая резонансная частота ω₀ = 1/√(LC), а обычная частота f₀ = 1/(2π√(LC)).
§ 36. Закон Ома для цепи переменного тока. Резонанс в электрической цепи
