"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
При скоростях, близких к скорости света, привычные формулы классической механики перестают точно описывать движение. Специальная теория относительности связывает импульс и полную энергию тела с его скоростью и массой покоя. Эти зависимости объясняют, почему массивное тело не может достичь скорости света и как энергия покоя участвует в физических процессах. В теме также показано, как формулы СТО переходят в классические при малых скоростях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
В историческом изложении специальной теории относительности релятивистской массой называют величину m = m₀/√(1 − v²/c²). Здесь m₀ — масса покоя тела, v — его скорость, c — скорость света в вакууме. Когда скорость растёт, релятивистская масса тоже увеличивается. Эта величина позволяет записывать импульс быстрого тела в форме, похожей на классическую формулу.
Масса покоя m₀ — масса тела в системе отсчёта, где оно покоится. Она не зависит от того, какую инерциальную систему отсчёта выбрал наблюдатель: меняются измеренные скорость, импульс и энергия, но не масса покоя. Поэтому m₀ характеризует само тело, а не его движение. Именно эту массу используют в основных формулах СТО.
Релятивистский импульс определяется как p = mv = m₀v/√(1 − v²/c²). При скоростях, намного меньших c, знаменатель почти равен единице, и выражение становится близким к классическому импульсу m₀v. Для быстрых тел поправка существенна, поэтому в расчётах нельзя без проверки подставлять классическую формулу. Импульс нужен, в частности, для описания движения и столкновений частиц.
Энергией покоя называют E₀ = m₀c² — энергию, связанную с массой покоя тела. Она есть и у неподвижного тела, то есть не является энергией его движения. Формула показывает, что массе соответствует энергия, даже если тело не имеет кинетической энергии. Это понятие помогает различать энергию покоя и полную энергию движущегося тела.
В классической механике импульс записывают как p = m₀v, а кинетическую энергию — как Eₖ = m₀v²/2. Эти формулы получены для условий, в которых скорости намного меньше скорости света. При больших скоростях они не согласуются с законами СТО: в частности, классическое сложение скоростей могло бы привести к результату выше c. Поэтому для быстрых тел нужны релятивистские выражения.
В формулах СТО появляется множитель 1/√(1 − v²/c²), называемый релятивистским множителем. Пока v мала по сравнению с c, он почти равен единице, но при приближении v к c растёт без ограничения. Поэтому релятивистские масса и импульс увеличиваются, а разгон требует всё большей энергии. Скорость тела при этом может приближаться к скорости света, но массивное тело не достигает её.
Полная энергия связана с релятивистской массой равенством E = mc². Подставив выражение для m, получаем E = m₀c²/√(1 − v²/c²). Эту полную энергию можно представить как сумму энергии покоя и кинетической энергии: E = E₀ + Eₖ, где E₀ = m₀c², а значит Eₖ = E − E₀. Так отделяют энергию, связанную с массой, от энергии движения.
Энергию и импульс можно связать без явного указания скорости: E² = p²c² + m₀²c⁴. Это соотношение удобно, когда известны масса покоя и импульс частицы, а скорость неизвестна или её не требуется находить. Для энергии берут положительный корень, поскольку рассматривают физическую полную энергию частицы. Если частица покоится, p = 0, и формула превращается в E = m₀c².
При v ≪ c релятивистский множитель можно приближённо заменить выражением 1 + v²/(2c²). Тогда импульс близок к m₀v, а полная энергия — к m₀c² + m₀v²/2. После вычитания энергии покоя остаётся знакомая классическая кинетическая энергия Eₖ ≈ m₀v²/2. Значит, классическая механика не противоречит СТО, а является её приближением для малых скоростей.
| Величина | Классическая механика | Специальная теория относительности |
|---|---|---|
| Масса | Постоянная m₀ | Масса покоя m₀; в исторической записи релятивистская масса m = m₀/√(1 − v²/c²) |
| Импульс | p = m₀v | p = m₀v/√(1 − v²/c²) |
| Кинетическая энергия | Eₖ = m₀v²/2 | Eₖ = E − m₀c² |
| Энергия покоя | Отдельно не учитывается | E₀ = m₀c² |
| Полная энергия | Кинетическую энергию отсчитывают относительно выбранного нуля | E = mc²; E² = p²c² + m₀²c⁴ |
| Область применимости | Скорости намного меньше c | Любые скорости меньше c |
Сравнивайте строки, чтобы увидеть, какие выражения изменяются при переходе от классической механики к СТО. Если скорость мала, релятивистские формулы можно приближённо заменить классическими. Для быстрых частиц используйте формулы СТО и не смешивайте полную энергию с кинетической.
Задача 1. Тело движется со скоростью 0,6c. Найти отношение релятивистской массы к массе покоя. Нужно вычислить отношение m/m₀, поэтому сама масса тела не требуется. Сначала подставим v/c = 0,6 в формулу массы, а затем упростим выражение.
Ответ: релятивистская масса в 1,25 раза больше массы покоя. Проверка показывает, что отношение больше единицы: при ненулевой скорости релятивистский множитель увеличивается.
Задача 2. Частица с массой покоя m₀ движется со скоростью 0,8c. Найти её релятивистский импульс и сравнить его с классическим. Чтобы сравнение было честным, в обоих выражениях используем одни и те же m₀ и v. Отличие даст релятивистский множитель.
Ответ: p = 4m₀c/3, что примерно в 1,67 раза больше классического значения. Такой результат ожидаем: при скорости 0,8c поправку уже нельзя считать малой.
Задача 3. Известны масса покоя частицы m₀ и её импульс p. Требуется найти полную энергию, энергию покоя и кинетическую энергию. Здесь скорость можно не вычислять: энергию сразу даёт связь энергии и импульса. Поскольку энергия частицы положительна, выбираем положительный корень.
Ответ: E = √(p²c² + m₀²c⁴), E₀ = m₀c², Eₖ = √(p²c² + m₀²c⁴) − m₀c². Если в условии заданы численные значения, их подставляют с согласованными единицами измерения.
Считать, что масса покоя увеличивается со скоростью, — значит смешивать её с релятивистской массой в исторической записи. Такое возникает из-за похожих обозначений, но m₀ остаётся постоянной характеристикой тела. Проверяйте, какая именно масса дана или требуется в задаче. В формуле с множителем Лоренца скорость-зависимой является m, а не m₀.
Подстановка скорости в километрах в час при c в метрах в секунду приводит к неверному результату. Ошибка возникает, когда единицы не проверяют перед вычислениями. Приведите скорость и c к одинаковым единицам либо сначала найдите безразмерное отношение v/c. Оно должно быть меньше единицы для тела с массой.
Полную энергию иногда принимают за кинетическую или, наоборот, забывают энергию покоя. Причина в том, что обе величины обозначаются через E и измеряются в джоулях. Проверьте, что Eₖ вычислена как E − E₀, а полная энергия включает обе составляющие: E = E₀ + Eₖ. Для неподвижного тела Eₖ равна нулю, но E₀ остаётся.
Классические формулы импульса и кинетической энергии нельзя без проверки применять при скоростях, близких к c. Их продолжают использовать по привычке, хотя они подходят лишь при v ≪ c. Оцените отношение v/c: если оно не мало, выбирайте релятивистские формулы. При малой скорости проверьте, что ответ СТО приближённо совпадает с классическим.
Для изучения темы нужны понятия импульса, кинетической энергии, массы и инерциальной системы отсчёта из классической механики. Релятивистские формулы применяют при анализе движения быстрых частиц и энергетических процессов в ядерной физике и физике элементарных частиц. Связь массы и энергии помогает разбирать ядерные реакции, где нужно учитывать энергию покоя наряду с другими видами энергии. Это расширяет представление о законе сохранения энергии.
Почему для описания быстрых частиц недостаточно классических формул?
Классические формулы хорошо работают, когда скорость тела намного меньше скорости света. При приближении скорости к c релятивистский множитель заметно отличается от единицы, поэтому классический импульс и классическая кинетическая энергия дают всё большую ошибку.
Что именно называют массой покоя?
Масса покоя m₀ — это масса тела, измеренная в системе отсчёта, где тело покоится. Она является характеристикой самого тела и не меняется при переходе к другой инерциальной системе отсчёта.
Почему тело с массой не может разогнаться до скорости света?
При разгоне массивного тела множитель 1/√(1 − v²/c²) растёт и стремится к бесконечности при v, стремящейся к c. Чтобы достичь скорости света, потребовалась бы бесконечная энергия, поэтому тело с ненулевой массой покоя не может разогнаться до c.
Чем энергия покоя отличается от кинетической энергии?
Энергия покоя E₀ = m₀c² связана с массой тела и существует даже тогда, когда тело покоится. Кинетическая энергия появляется из-за движения и равна разности полной энергии и энергии покоя: Eₖ = E − E₀.
Как связаны полная энергия частицы и её импульс?
Их связывает формула E² = p²c² + m₀²c⁴. Она учитывает и импульс частицы, и её массу покоя; если импульс равен нулю, формула даёт E = m₀c².
§ 57. Масса, импульс и энергия в специальной теории относительности
