"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
При движении по окружности тело может сохранять постоянный модуль скорости, но направление его движения всё время меняется. Поэтому у тела есть ускорение, направленное к центру окружности, а значит, на него действует направленная туда равнодействующая сил. Разберём, как связаны ускорение, скорость и радиус, какие реальные силы обеспечивают поворот и как применять эти связи в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение, при котором модуль скорости постоянен, а направление вектора скорости непрерывно меняется. Поэтому даже без разгона или торможения тело не движется с постоянной скоростью как вектор. Это понятие помогает отличать равномерное движение по окружности от движения с неизменной скоростью по прямой.
Центростремительное ускорение — ускорение тела, направленное к центру окружности. Его модуль выражается формулой aц = v²/R, где v — скорость, а R — радиус траектории. Формула позволяет найти, насколько быстро меняется направление движения, и показывает, что ускорение растёт с увеличением скорости и уменьшается при увеличении радиуса.
Центростремительная сила — равнодействующая сил, направленная к центру и обеспечивающая движение тела по окружности. По второму закону Ньютона её модуль Fц = maц, где m — масса тела. Это обозначение удобно для расчёта сил, но оно не означает появления нового вида взаимодействия.
Период обращения T — время одного полного оборота. За этот промежуток тело проходит длину окружности 2πR, поэтому его скорость связана с периодом формулой v = 2πR/T. Период помогает перейти от описания вращения «обороты за время» к линейной скорости тела.
Скорость — векторная величина: у неё есть и модуль, и направление. При движении по окружности в каждый момент она направлена по касательной, а сама касательная поворачивается вместе с телом. Поэтому даже если показания спидометра не меняются, вектор скорости становится другим и у тела есть ускорение.
Чтобы понять направление ускорения, сравним скорости тела в двух близких точках траектории. Их векторы одинаковы по длине, но слегка повернуты относительно друг друга; разность этих векторов направлена внутрь окружности. Именно направление изменения скорости задаёт направление ускорения, поэтому при равномерном движении по окружности оно обращено к центру, а не по касательной.
За малый промежуток времени тело проходит короткую дугу, которую можно считать почти прямой. Если изменение направления скорости обозначить Δα, то модуль изменения скорости приблизительно равен vΔα, а ускорение — vΔα/Δt. За время Δt тело проходит дугу длиной примерно vΔt, поэтому Δα ≈ vΔt/R; подстановка даёт aц = v²/R. Так появляется зависимость ускорения от квадрата скорости и радиуса.
Второй закон Ньютона связывает ускорение с равнодействующей сил: F = ma. Поскольку ускорение направлено к центру, туда же направлена и равнодействующая, а её модуль равен Fц = maц = mv²/R. Центростремительная сила не прибавляется к тяжести или натяжению как ещё одна сила: это название результата их сложения в нужном направлении.
Роль равнодействующей зависит от ситуации. Для шарика на нити к центру может быть направлено натяжение, а для спутника необходимое ускорение создаёт сила тяжести. Автомобиль поворачивает благодаря силе трения шин о дорогу; на некоторых участках нужное направление даёт составляющая реакции опоры. При разборе важно нарисовать реальные силы и определить их сумму в направлении к центру.
| Величина или ситуация | Направление | Связь с параметрами движения | Что важно учитывать |
|---|---|---|---|
| Центростремительное ускорение | К центру окружности | aц = v²/R | Скорость возводится в квадрат |
| Равнодействующая сил | К центру, если она обеспечивает поворот | Fц = maц = mv²/R | Это сумма реальных сил, а не отдельное взаимодействие |
| Движение тела на нити | Натяжение направлено к центру, если тело вращается на натянутой нити | Fнат = mv²/R, когда натяжение — единственная радиальная сила | Если есть другие силы, нужно учитывать их составляющие |
| Движение автомобиля на повороте | Сила трения направлена к центру поворота | Fтр = mv²/R; на горизонтальной дороге N = mg | Требуемое трение не должно превышать предельное μN |
Сначала выбери строку, соответствующую задаче, и определи, какая реальная сила или их сумма направлена к центру. Затем свяжи эту равнодействующую с ускорением через второй закон Ньютона. Если в условии дана скорость и радиус, сначала можно найти aц = v²/R.
Задача 1. Тело движется по окружности радиусом 2 м со скоростью 4 м/с. Найдём центростремительное ускорение. Даны скорость и радиус, поэтому достаточно применить формулу aц = v²/R; период и масса для такого расчёта не нужны.
Ответ: 8 м/с².
Задача 2. Шарик массой 0,5 кг вращается на нити радиусом 1,2 м с периодом 2 с. Нужно найти скорость и натяжение нити, считая, что оно одно направлено к центру. Сначала используем период, чтобы найти путь за оборот и скорость; затем рассчитаем ускорение и силу по второму закону Ньютона.
Ответ: скорость примерно 3,77 м/с, натяжение нити примерно 5,9 Н.
Задача 3. Автомобиль массой 1000 кг проходит горизонтальный поворот радиусом 50 м со скоростью 10 м/с. Определим необходимую силу трения, а затем минимальный коэффициент трения шин о дорогу. На горизонтальном повороте трение должно обеспечить всю направленную к центру равнодействующую; максимальная сила трения равна μN.
Ответ: необходимая сила трения — 2000 Н, минимальный коэффициент трения — примерно 0,20.
Ошибка: считать, что при постоянном модуле скорости ускорения нет. Так думают, потому что в быту словом «скорость» часто называют только показание спидометра. Проверка: сравни направления векторов скорости в двух точках — если они различаются, вектор скорости меняется.
Ошибка: направлять центростремительное ускорение по касательной. Касательно направлена сама мгновенная скорость, поэтому эти направления легко спутать. Проверь рисунок: ускорение при движении по окружности должно быть направлено от тела к её центру.
Ошибка: считать центростремительную силу отдельной силой наряду с тяжестью и натяжением. Такое название можно принять за название нового взаимодействия, хотя речь идёт о равнодействующей уже имеющихся сил. Проверь решение: перечисли реальные силы один раз и сложи их проекции к центру, не добавляя ещё одну силу Fц.
Ошибка: подставлять диаметр вместо радиуса или забывать квадрат скорости в aц = v²/R. Это часто происходит при чтении условия или при спешке в вычислениях. Проверь, что R равен половине диаметра, если дан диаметр, и что единицы результата ускорения — м/с².
Для анализа движения по окружности нужны знания о векторах: скорость и ускорение имеют не только модуль, но и направление. Второй закон Ньютона связывает ускорение с равнодействующей сил, а правила сложения сил помогают найти её проекцию к центру. Без этих тем нельзя правильно определить, какая сила обеспечивает поворот.
Эти знания применяются при изучении движения спутников и планет, где поворот траектории связан с действием силы тяжести. Они также помогают объяснить, почему транспорт поворачивает благодаря трению и от чего зависит безопасность движения. Сходные рассуждения используют для тела, вращающегося на нити.
Почему тело ускоряется, если его скорость по модулю не меняется?
Ускорение показывает, как меняется вектор скорости, а не только его модуль. При движении по окружности направление скорости меняется, поэтому возникает ускорение.
Куда направлены скорость и ускорение тела при движении по окружности?
Мгновенная скорость направлена по касательной к окружности. Центростремительное ускорение направлено от тела к центру окружности.
Центростремительная сила — это отдельная сила?
Нет, так называют равнодействующую сил, направленную к центру. Её могут создавать реальные силы или их составляющие.
Какие силы могут выполнять роль центростремительной силы?
Это могут быть сила тяжести, натяжение нити, сила трения или реакция опоры. Какая именно сила нужна, зависит от условий движения.
Что произойдёт с центростремительным ускорением, если увеличить скорость в два раза?
При неизменном радиусе ускорение увеличится в четыре раза, потому что aц = v²/R. Скорость в формуле возводится в квадрат.
§ 22. Динамика движения по окружности
