"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
Механическое движение описывают, чтобы определить, где находится тело и как меняется его положение со временем. Для этого выбирают систему отсчёта, а затем используют радиус-вектор, координаты или путь вдоль известной траектории. Векторный и координатный способы удобны для движения в пространстве, естественный — для движения по заранее известной линии. Выбор способа зависит от условий задачи и нужного результата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Механическое движение — изменение положения тела относительно других тел с течением времени. Чтобы говорить о положении точно, выбирают тело отсчёта, например Землю или поезд. Это определение нужно, потому что одно и то же тело может двигаться относительно одного тела и покоиться относительно другого.
Радиус-вектор — вектор, проведённый из начала координат к точке, где находится тело. Обычно его обозначают r; направление и длина вектора показывают положение тела в пространстве. Если радиус-вектор меняется со временем, тело перемещается.
Координатный способ описания движения — задание положения тела и его изменения с помощью координат, зависящих от времени. Для этого используют функции x(t), y(t), z(t). Такой способ позволяет узнать положение тела в любой момент, если известны соответствующие зависимости.
Естественный способ описания движения — описание движения вдоль известной траектории с помощью пути и времени. Положение задают расстоянием s от начальной точки, отсчитываемым в направлении движения. Способ удобен, когда форма траектории уже известна и не требуется каждый раз находить координаты.
Положение тела описывают относительно системы отсчёта, а не «само по себе». В неё входят тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы, поэтому можно определить и место тела, и момент наблюдения. Без такого выбора сравнение положений теряет смысл: например, пассажир покоится относительно вагона, но движется относительно дороги.
Вектор положения задаёт тело сразу в трёхмерном пространстве: его начало находится в начале координат, а конец — в точке расположения тела. Если в моменты t₁ и t₂ радиус-векторы равны r₁ и r₂, то перемещение равно разности этих векторов: Δr = r₂ − r₁. Поэтому изменение вектора показывает не длину пройденной дороги, а прямое изменение положения.
При координатном описании каждую координату записывают как функцию времени: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Причина такого представления проста: положение точки в пространстве определяется тремя числами, а движение означает изменение этих чисел. Подставив нужный момент времени в функции, можно восстановить положение тела и сравнить его с положением в другой момент.
Естественный способ применяют, когда траектория — линия, по которой движется тело, уже известна. Тогда не нужно отдельно задавать координаты каждой точки линии: достаточно указать путь s(t), отсчитанный от начальной точки. Зная s и направление движения, можно найти положение тела на траектории в любой момент.
Единственного универсального способа нет, потому что задачи требуют разной информации. Для движения в произвольном пространстве удобны радиус-вектор или координаты, а для движения по известной кривой — путь и время. Выбирают тот способ, который проще связывает условие задачи с искомой величиной.
| Способ | Как задаётся положение | Какие данные нужны | Когда удобно использовать |
|---|---|---|---|
| Векторный | Радиус-вектором r(t), направленным из начала координат к телу | Начало координат, направление осей и зависимость радиус-вектора от времени | При описании движения в пространстве и нахождении перемещения |
| Координатный | Координатами x(t), y(t), z(t) | Система координат и уравнения изменения координат | При решении задач с уравнениями движения и численным определением положения |
| Естественный | Путём s(t) вдоль заданной траектории | Форма траектории, начальная точка, направление и закон изменения пути | При движении по известной прямой, окружности или другой линии |
Сначала определите, какие сведения уже даны в условии: координаты, радиус-вектор или путь. Затем проверьте, какая система отсчёта и начальная точка используются. Таблица помогает выбрать кратчайший способ решения, но разные способы могут описывать одно и то же движение.
Условие: точка движется вдоль прямой, её координата задана формулой x(t) = 2 + 3t. Найти положение точки при t = 4 с. Координата измеряется в выбранной системе отсчёта, а время — в секундах.
Ответ: при t = 4 с точка находится в положении x = 14 м относительно начала выбранной системы отсчёта.
Условие: положение тела задано радиус-вектором r(t) = (1 + 2t)i + (3 − t)j. Определить координаты при t = 2 с. Здесь i и j — единичные векторы координатных осей.
Ответ: координаты тела при t = 2 с равны (5; 1), а радиус-вектор в этот момент имеет вид r(2) = 5i + 1j.
Условие: велосипедист движется по известной круговой трассе, а путь задан зависимостью s(t) = 5t. Найти положение на трассе и путь за 12 с. Начальная точка и направление движения считаются заданными.
Ответ: за 12 с велосипедист прошёл 60 м и находится на круговой трассе в точке, отстоящей от начальной по направлению движения на 60 м.
Ошибка — описывать положение без указания системы отсчёта. Её допускают, когда считают координаты абсолютными; проверить себя можно вопросом: где начало отсчёта и направлены ли оси? В ответе эти сведения должны быть хотя бы подразумеваемо заданы.
Ошибка — считать путь и перемещение одним и тем же. Путь относится ко всей пройденной траектории, а перемещение соединяет начальное и конечное положения; для проверки сравните длину маршрута с направленным отрезком между точками.
Ошибка — приравнивать координату к пути. Координата зависит от начала отсчёта и может быть отрицательной, тогда как путь неотрицателен; если величина получила минус, это ещё не означает движение «назад» по пройденному пути.
Ошибка — забывать зависимость радиус-вектора и координат от времени. Одно значение описывает положение только в один момент, поэтому нужно проверить, задана ли функция r(t) или координаты x(t), y(t), z(t).
До изучения способов описания нужны понятия системы отсчёта, координат, вектора и времени. Они образуют язык, на котором записывают положение тела и его изменение.
Далее эти способы понадобятся при изучении перемещения, скорости и ускорения. Без зависимости положения от времени невозможно определить, как быстро и с каким изменением скорости движется тело.
Координатное описание используется для записи уравнений движения и решения задач кинематики. Подстановка времени в такие уравнения позволяет находить положение, а последующий анализ — другие характеристики движения.
Почему нельзя описать движение, не выбрав систему отсчёта?
Положение тела можно определить только относительно другого тела, начала координат и выбранных осей. Без системы отсчёта неизвестно, откуда измерять координаты и как сравнивать положение тела в разные моменты.
Чем радиус-вектор отличается от координат тела?
Радиус-вектор — это направленный отрезок от начала координат к телу. Координаты являются числами, которые показывают проекции этого вектора на координатные оси.
Можно ли считать координату пройденным путём?
Нет. Координата показывает положение относительно выбранного начала и может быть отрицательной, а путь равен длине пройденной части траектории и не бывает отрицательным.
Когда удобнее использовать естественный способ описания?
Его выбирают, когда траектория тела известна заранее, например при движении по круговой или другой заданной линии. Тогда достаточно знать путь, пройденный от начальной точки, и время.
Как по заданным координатам определить положение тела в конкретный момент?
Нужно подставить заданное время в функции всех координат: x(t), y(t), z(t). Полученные числа образуют координаты тела в выбранной системе отсчёта.
§ 3. Различные способы описания механического движения
