§ 4. Перемещение. Радиус-вектор

Определения и обозначения

Перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным. Его обозначают Δr или s, а направленный отрезок — стрелка от точки, где тело было сначала, к точке, где оно оказалось потом. Перемещение отвечает на вопрос, насколько и в каком направлении изменилось положение тела. Пройденный путь, напротив, равен длине всей траектории и не сообщает направление.

Вектор перемещения — направленный отрезок от начальной точки к конечной. Его начало соответствует начальному положению тела, конец — конечному, а направление стрелки показывает, куда направлено изменение положения. Такая запись нужна, чтобы описывать движение не только числом, но и направлением. Если тело вернулось в исходную точку, концы вектора совпадут, и перемещение будет нулевым.

Радиус-вектор — вектор, проведённый из начала координат к точке, задающей положение тела; его обозначают r. Начало этого вектора закреплено в начале координат, а его конец совпадает с положением тела. По радиус-вектору можно задать, где находится тело относительно выбранной системы отсчёта. Если тело движется, его радиус-вектор меняется.

Проекция перемещения — изменение координаты тела вдоль выбранной оси. Например, на оси Ox она равна Δx = x₂ − x₁, где x₁ и x₂ — начальная и конечная координаты. Проекции позволяют описывать вектор числами и учитывать его направление с помощью знака. По ним также можно вычислить модуль перемещения.

Как это устроено

Чтобы задать перемещение, достаточно знать начальное и конечное положения тела. Причина в том, что вектор соединяет только эти две точки: форма пути между ними не меняет ни его длину, ни направление. Тело может двигаться по прямой или по извилистой траектории, но при одинаковых начальной и конечной точках вектор перемещения будет одним и тем же. Поэтому сведения о промежуточных положениях нужны для описания пути, но не для самого перемещения.

Радиус-вектор задаёт положение тела относительно начала координат, поэтому его можно представить как указатель из начала отсчёта к телу. Чтобы узнать, как изменилось положение, сравнивают конечное и начальное значения этого указателя. Отсюда получается векторное равенство Δr = r₂ − r₁. Вычитание здесь означает сложение конечного радиус-вектора с вектором, противоположным начальному.

В координатах это правило действует отдельно для каждой оси: Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁, Δz = z₂ − z₁. Конечную координату вычитают из начальной? Нет: из конечной вычитают начальную, потому что перемещение показывает изменение «после минус до». Если координата увеличилась, проекция положительна; если уменьшилась — отрицательна. Знак позволяет понять направление движения вдоль оси, даже когда рисунка нет.

Вектор перемещения изображают стрелкой от исходной точки к конечной, а его модуль находят по проекциям. В двумерном случае проекции образуют катеты прямоугольного треугольника, а вектор — гипотенузу, поэтому |Δr| = √(Δx² + Δy²). В пространстве добавляется третья проекция: |Δr| = √(Δx² + Δy² + Δz²). Теорему Пифагора применяют к взаимно перпендикулярным осям, а не к длинам участков траектории.

При движении по замкнутой траектории тело возвращается в точку старта. Тогда начальный и конечный радиус-векторы совпадают, поэтому их разность и перемещение равны нулю. Однако тело могло пройти целый круг или другую замкнутую линию, так что пройденный путь будет положительным. Это наглядно показывает, почему путь и перемещение нельзя считать одной величиной.

Величины, описывающие положение и перемещение тела

Сначала определите, что именно требуется найти: изменение положения, его проекцию, длину вектора или длину траектории. Затем используйте соответствующую строку таблицы и подставляйте координаты в порядке «конечная минус начальная». Для модуля вектора учитывайте все проекции, а для пути — всю траекторию движения.

Обозначение s может использоваться для вектора перемещения или для пути, поэтому ориентируйтесь на смысл величины и контекст задачи. Вектор часто выделяют стрелкой над буквой или жирным шрифтом, а модуль обозначают вертикальными чертами. Знак проекции относится к направлению, тогда как модуль перемещения неотрицателен.

Разбор задач

1. Проекция на ось

Тело переместилось из точки с координатой x₁ = 2 м в точку x₂ = 7 м. Найдите проекцию перемещения на ось Ox. Здесь нужно найти не длину пути, а изменение координаты вдоль оси. Поэтому используем разность конечной и начальной координат.

1. Записываем формулу: Δx = x₂ − x₁.
2. Подставляем значения: Δx = 7 м − 2 м = 5 м.
3. Проверяем знак: координата выросла, значит, проекция положительна.

Ответ: Δx = 5 м. Это означает, что координата тела изменилась на 5 м в положительном направлении оси Ox. Одна только проекция не говорит, какой путь тело прошло до конечной точки.

2. Перемещение на плоскости

Тело переместилось из точки A(1; 2) м в точку B(5; −1) м. Найдите проекции и модуль перемещения. Координаты обеих точек заданы в одной системе отсчёта, поэтому сравниваем соответствующие координаты. Отрицательное значение второй координаты точки B сохранится при вычислении проекции.

1. Находим проекцию на Ox: Δx = x₂ − x₁ = 5 − 1 = 4 м.
2. Находим проекцию на Oy: Δy = y₂ − y₁ = −1 − 2 = −3 м.
3. Используем теорему Пифагора: |Δr| = √(Δx² + Δy²) = √(4² + (−3)²) = √25 = 5 м.

Ответ: Δx = 4 м, Δy = −3 м, |Δr| = 5 м. Отрицательный знак Δy показывает, что координата y уменьшилась. Модуль перемещения равен длине прямого отрезка AB, а не сумме модулей проекций.

3. Возвращение в исходную точку

Тело прошло по прямоугольной траектории со сторонами 3 м и 4 м и вернулось в исходную точку. Определите пройденный путь и модуль перемещения. Путь равен длине всех пройденных сторон прямоугольника. Перемещение определяется только тем, где тело начало и закончило движение.

1. Находим периметр прямоугольника: l = 2 · (3 м + 4 м) = 14 м.
2. Поскольку тело вернулось к начальной точке, начальное и конечное положения совпадают.
3. Вектор между совпадающими точками нулевой, поэтому |Δr| = 0 м.

Ответ: путь равен 14 м, модуль перемещения равен 0 м. Путь показывает, сколько всего тело прошло по траектории. Нулевое перемещение показывает лишь то, что итоговое положение не отличается от начального.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать перемещение равным пройденному пути. Так путают эти величины, потому что обе связаны с движением и измеряются в метрах. Но путь учитывает всю траекторию, а перемещение соединяет только начальную и конечную точки. Проверка: если тело вернулось туда, откуда вышло, путь может быть ненулевым, а перемещение равно нулю.

Вторая ошибка — вычитать конечную координату из начальной. Такое легко сделать, если помнить о разности координат, но забыть порядок. Проекция определяется формулой Δx = x₂ − x₁, потому что сравнивают итоговое значение с исходным. Проверить себя можно так: при движении в положительном направлении координата растёт, и проекция должна получиться положительной.

Третья ошибка — начинать радиус-вектор в начальном положении тела. Это происходит из-за сходства слов «радиус-вектор» и «перемещение», хотя эти векторы строятся по-разному. Радиус-вектор всегда начинается в начале координат, а перемещение — в начальном положении тела. Чтобы проверить рисунок, найдите начало координат и убедитесь, что именно из него проведён радиус-вектор.

Четвёртая ошибка — считать перемещение обязательно ненулевым, если тело двигалось. Движение описывает путь во времени, а перемещение сравнивает только конечное и начальное положения. При возвращении в точку старта эти положения совпадают, поэтому перемещение равно нулю. Проверка проста: сопоставьте начальную и конечную координаты, не делая вывод только по факту движения.

Связь с другими темами

Для работы с перемещением нужно уметь задавать координаты точки и понимать направления координатных осей. Координаты показывают положение тела, а оси позволяют определить, вдоль какого направления меняется каждая координата. Без выбранного начала отсчёта нельзя однозначно задать радиус-вектор. Поэтому сначала задают систему координат, а затем описывают движение.

Перемещение и его проекции понадобятся при изучении скорости и ускорения. Скорость связана с изменением положения за время, а ускорение — с изменением скорости; в обоих случаях важны направления и проекции на оси. Векторы позволяют различать движения с одинаковыми числовыми значениями, но разными направлениями. Это делает описание движения точнее.

Описание перемещения применяют в задачах о движении на плоскости и в пространстве. Можно находить, насколько далеко и в каком направлении тело оказалось от исходной точки, даже если его маршрут был сложным. Если требуется узнать длину маршрута, вместо перемещения рассматривают пройденный путь. Различие этих величин помогает правильно выбирать формулы.

Что запомнить

• Перемещение — вектор от начального положения к конечному.
• Радиус-вектор проведён из начала координат к точке.
• Вектор перемещения равен разности конечного и начального радиус-векторов.
• Проекция перемещения на ось равна конечной координате минус начальная.
• Модуль перемещения не может быть больше пройденного пути.
• При возвращении в исходную точку перемещение равно нулю.