§ 33. Центр тяжести твёрдого тела. Виды равновесия

Определения и обозначения

Центр тяжести твёрдого тела — точка, относительно которой момент силы тяжести всего тела равен сумме моментов сил тяжести, действующих на его части. Иначе говоря, тяжесть каждой части можно заменить одной равнодействующей, приложенной в этой точке. Это позволяет рассматривать действие силы тяжести на сложное тело как действие одной силы.

Равновесие твёрдого тела — состояние, при котором тело сохраняет покой относительно выбранной системы отсчёта. Для этого равнодействующая сил должна быть равна нулю, а суммарный момент сил — тоже нулю. Проверка обоих условий нужна потому, что тело может не перемещаться, но начать вращаться.

Устойчивое равновесие — такое равновесие, при котором тело после малого отклонения стремится вернуться в исходное положение. Причина возврата — действие сил, создающих момент в сторону исходного положения. Это определение помогает отличить надёжную опору от положения, из которого тело легко сдвинуть.

Неустойчивое равновесие после малого отклонения сменяется всё большим удалением от исходного положения, а при безразличном равновесии тело остаётся в новом положении равновесия. В первом случае небольшое смещение усиливается, во втором — не вызывает возвращающего или опрокидывающего действия. По поведению тела после отклонения можно определить вид равновесия, даже не зная точных значений сил.

Как это устроено

На каждую малую часть тела действует сила тяжести, поэтому у протяжённого тела таких сил много. Их можно заменить одной равнодействующей, если выбрать точку приложения так, чтобы сохранялось действие всех сил на вращение тела, то есть их общий момент. Эту точку и называют центром тяжести, а величина равнодействующей равна весу тела. Такая замена упрощает анализ равновесия: вместо множества сил рассматривают силу тяжести всего тела.

В однородном поле тяжести ускорение свободного падения одинаково во всех точках тела. Поэтому распределение веса повторяет распределение массы: если мысленно собрать массу тела в центре масс, действие тяжести сохранится, и центр тяжести совпадёт с ним. Для однородного симметричного тела центр масс находится на осях или плоскостях симметрии, а при нескольких симметриях — в месте их пересечения. Для тела без подходящей симметрии положение центра можно находить по балансированию или расчётом моментов.

Чтобы понять, не опрокинется ли тело при наклоне, мысленно проводят вертикальную линию через центр тяжести — линию действия силы тяжести. Пока она проходит внутри площади опоры, сила тяжести не создаёт опрокидывающего момента относительно края опоры, и тело может сохранить равновесие. Когда линия выходит за границу опоры, момент силы тяжести поворачивает тело наружу. Поэтому для устойчивости важны и положение центра тяжести, и размер опоры.

Виды равновесия различают, слегка отклоняя тело и наблюдая за его дальнейшим движением. При устойчивом равновесии центр тяжести обычно поднимается при отклонении: потенциальная энергия растёт, а сила тяжести стремится вернуть тело вниз, к исходному положению. При неустойчивом равновесии малое отклонение опускает центр тяжести, энергия уменьшается и движение от исходного положения продолжается. При безразличном равновесии высота центра тяжести и потенциальная энергия при перемещении не меняются.

Низкое положение центра тяжести обычно повышает устойчивость: для выхода линии действия силы тяжести за край опоры телу требуется больший наклон. Широкая опора тоже помогает, потому что граница, за которую должна выйти эта линия, расположена дальше. Это объясняет устойчивость низких широких предметов и то, почему спортивные стойки часто выполняют с согнутыми ногами. Однако ширина основания сама по себе не гарантирует устойчивость, если центр тяжести расположен высоко.

Виды равновесия твёрдого тела

Сначала определите, что происходит с телом после небольшого отклонения, а затем сверьте наблюдение с таблицей. Изменение потенциальной энергии объясняет, почему тело возвращается или продолжает смещаться. Примеры помогают представить поведение, но вид равновесия конкретного тела зависит от его формы и опоры.

Разбор задач

Задача 1. Однородный симметричный брусок лежит на горизонтальной поверхности. Требуется указать положение его центра тяжести и объяснить выбор. Плотность материала одинакова во всех частях, поэтому масса распределена симметрично. Рассматриваем брусок как тело в однородном поле тяжести.

1. У однородного симметричного бруска распределение массы не выделяет одну сторону.
2. Центр тяжести совпадает с центром масс, а центр масс симметричного тела лежит в центре симметрии.
3. Следовательно, центр тяжести находится в геометрическом центре бруска; он может быть внутри его материала.

Ответ: в геометрическом центре бруска, поскольку тело однородно и симметрично.

Задача 2. Однородная пластинка имеет форму прямоугольника с вырезом в одном углу. Нужно описать способ найти центр тяжести без вычислений. Нельзя считать центр тяжести оставшейся пластинки просто центром прямоугольника: вырез нарушил симметрию распределения массы. Удобно мысленно восстановить исходную пластинку.

1. Представьте пластинку как целый прямоугольник и удалённую угловую часть.
2. Для обеих фигур отметьте центры тяжести, а вырез считайте частью с отрицательной массой.
3. Составьте условие равенства моментов масс относительно выбранных осей: вклад выреза вычитается. Точка, найденная по этому правилу, и есть центр тяжести оставшейся пластинки.

Ответ: применить правило моментов для целого прямоугольника и вырезанной части, учитывая вырез как отрицательную массу.

Задача 3. Тело опирается на узкое основание и слегка наклоняется. Нужно определить, вернётся ли оно или опрокинется. Для этого важен не сам факт наклона, а направление момента силы тяжести относительно края основания. Условие сравнивают с положением вертикали, проведённой через центр тяжести.

1. Проведите вертикальную линию действия силы тяжести через центр тяжести.
2. Если линия проходит внутри площади опоры, момент не опрокидывает тело; при возникновении возвращающего момента тело возвращается к прежнему положению.
3. Если линия вышла за край опоры, сила тяжести создаёт момент наружу и тело опрокидывается.

Ответ: тело сохраняет или восстанавливает равновесие, пока линия действия силы тяжести остаётся над опорой; выход линии за край ведёт к опрокидыванию.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что центр тяжести непременно находится внутри тела. Обычно так бывает у цельного бруска, поэтому это представление легко принять за правило, но у кольца или рамки центр тяжести расположен в пустом пространстве. Проверьте себя: спросите, обязана ли точка приложения равнодействующей лежать в веществе тела. Она задаётся распределением массы, а не наличием материала в самой точке.

Вторая ошибка — всегда отождествлять центр тяжести с геометрическим центром. Такое совпадение характерно для однородных тел подходящей симметричной формы, но не для любого распределения массы. Если одна часть тела плотнее или форма несимметрична, центр тяжести смещается. Проверка: выясните, одинаковы ли плотность и симметрия относительно предполагаемого центра.

Третья ошибка — объявлять равновесие устойчивым только потому, что тело покоится. Покой описывает состояние сейчас, но не показывает, что произойдёт при малом отклонении. Для проверки слегка отклоните тело: возврат означает устойчивость, уход дальше — неустойчивость, новое положение покоя — безразличное равновесие.

Четвёртая ошибка — связывать устойчивость только с шириной опоры. Широкое основание помогает, но тело с высоко расположенным центром тяжести всё равно может легко опрокинуться. Сопоставьте ширину опоры и положение центра тяжести, а затем проведите вертикаль через него. Если при наклоне вертикаль выходит за границу опоры, тело может опрокинуться.

Связь с другими темами

Для изучения центра тяжести и равновесия нужно знать, как действует сила тяжести, что такое момент силы и при каких условиях силы уравновешиваются. Момент помогает объяснить, почему тело не только перемещается, но и поворачивается под действием сил. Эти понятия используются в статике при анализе покоя тел и рычагов. Они также нужны, чтобы оценивать равновесие и устойчивость конструкций, например опор и мостов.

Что запомнить

• Силу тяжести, действующую на тело, можно заменить равнодействующей, приложенной в центре тяжести.
• В однородном поле тяжести центр тяжести совпадает с центром масс.
• Центр тяжести может находиться вне тела.
• При устойчивом равновесии малое отклонение вызывает возвращение тела.
• При неустойчивом равновесии малое отклонение увеличивается.
• При безразличном равновесии тело после отклонения остаётся в новом положении равновесия.
• Устойчивость обычно повышается, если центр тяжести ниже, а площадь опоры шире.