§ 36. Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Уравнение Бернулли

Определения и обозначения

Линия тока — линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости частиц жидкости. Она показывает, куда направлено движение в разных местах потока. По линиям тока удобно изображать форму потока и сравнивать его направление у стенок и в центре канала.

Ламинарное течение — упорядоченное движение жидкости слоями, при котором соседние слои практически не перемешиваются. Частицы движутся, а не стоят на месте, но сохраняют упорядоченное расположение. Это понятие помогает описать спокойное течение и оценить, насколько малы перемешивание и потери энергии.

Турбулентное течение — вихревое, беспорядочное движение жидкости с интенсивным перемешиванием слоёв. Скорость частиц постоянно меняется по величине и направлению. Понятие нужно, чтобы отличать такой режим от слоистого и учитывать большие потери энергии.

Уравнение Бернулли — связь давления, скорости и высоты потока, выражающая закон сохранения энергии для идеальной жидкости. В записи p + ρv²/2 + ρgh = const учитываются давление p, скорость v и высота h. Оно позволяет находить одну из этих величин, если известны остальные и выполнены условия применимости.

Как это устроено

Линия тока показывает мгновенное направление скорости частиц. Если в одной точке пересеклись бы две линии тока, скорость жидкости там должна была бы иметь сразу два направления, что невозможно. Поэтому линии тока не пересекаются, а их картина помогает представить форму потока.

При небольшой скорости вязкость — внутреннее трение между слоями — сглаживает возмущения. Частицы соседних слоёв взаимодействуют, но не перемешиваются интенсивно, поэтому поток остаётся упорядоченным. Режим зависит не только от скорости: важны размер и форма канала, плотность и вязкость жидкости.

С ростом скорости возмущения в жидкости усиливаются, и поток может стать неустойчивым. Возникают вихри, которые перемещают частицы между слоями и вызывают перемешивание; так развивается турбулентность. Переход определяется сочетанием скорости, размера канала и свойств жидкости, а не одной скоростью.

Для установившегося потока масса жидкости, проходящая через любое сечение трубы за секунду, одинакова. Поэтому выполняется уравнение неразрывности A₁v₁ = A₂v₂, где A — площадь сечения, v — скорость. Если сечение уменьшается, скорость должна возрасти, чтобы за то же время прошёл прежний объём.

Закон сохранения энергии для потока даёт уравнение Бернулли: p + ρv²/2 + ρgh = const вдоль линии тока. Слагаемые описывают давление, энергию движения и энергию положения единицы объёма жидкости. Если высота не меняется, то при росте скорости давление уменьшается; если поток поднимается выше, на увеличение потенциальной энергии также приходится затратить энергию.

Сравнение ламинарного и турбулентного течения

Сравнивайте режимы сразу по нескольким признакам: характеру движения, перемешиванию и потерям энергии. Ни один отдельный признак не заменяет учёт условий потока. Например, скорость помогает оценить вероятность турбулентности, но сама по себе не определяет режим.

Разбор задач

В первой задаче даны v = 0,02 м/с, d = 0,01 м и ν = 1·10⁻⁶ м²/с. Требуется определить режим течения по числу Рейнольдса. Сначала проверяем, что скорость, диаметр и вязкость заданы в согласованных единицах СИ.

1. Используем формулу Re = vd/ν: число безразмерно и учитывает скорость, размер канала и вязкость.
2. Подставляем значения: Re = 0,02·0,01/(1·10⁻⁶) = 200. Это значение существенно меньше 2300, характерной границы ламинарного режима в круглой трубе.
3. Следовательно, течение воды в данных условиях ламинарное.

Ответ: Re = 200, течение ламинарное.

Во второй задаче труба горизонтальная, A₁ в четыре раза больше A₂, а v₁ = 1 м/с. Нужно найти v₂. Давления здесь не требуются: сначала используем сохранение массы, которое связывает площади сечений и скорости.

1. Записываем уравнение неразрывности: A₁v₁ = A₂v₂.
2. Выражаем скорость во втором сечении: v₂ = A₁v₁/A₂. Поскольку A₁/A₂ = 4, получаем v₂ = 4·1 м/с.
3. Узкое сечение в четыре раза меньше, поэтому скорость в нём в четыре раза больше.

Ответ: v₂ = 4 м/с.

В третьей задаче p₁ = 2,0·10⁵ Па, v₁ = 2 м/с, A₂ = A₁/2, а узкая часть на 1 м выше. Найдём давление p₂, считая воду идеальной, её плотность равной 1000 кг/м³, а g = 10 м/с². Сначала определим скорость в узком участке, затем применим уравнение Бернулли.

1. Из A₁v₁ = A₂v₂ следует v₂ = 2v₁ = 4 м/с, так как площадь уменьшилась вдвое.
2. Записываем Бернулли для двух сечений: p₁ + ρv₁²/2 + ρgh₁ = p₂ + ρv₂²/2 + ρgh₂. Выражаем давление: p₂ = p₁ + ρ(v₁² − v₂²)/2 − ρg(h₂ − h₁).
3. Подставляем: p₂ = 200000 + 1000(4 − 16)/2 − 1000·10·1 = 184000 Па. Давление уменьшилось и из-за возросшей скорости, и из-за подъёма потока.

Ответ: p₂ = 1,84·10⁵ Па.

Типичные ошибки

Путать ламинарное течение с неподвижной жидкостью. Ошибка возникает, если слово «упорядоченное» принять за «неподвижное». При ламинарном режиме частицы движутся слоями, причём слои могут иметь разные скорости. Проверьте себя: есть ли направленное движение без сильного перемешивания? Если да, оно может быть ламинарным.

Считать, что турбулентность определяется только скоростью. Большая скорость повышает вероятность вихрей, но режим зависит также от размера канала, плотности и вязкости жидкости. Такое упрощение удобно, но игнорирует остальные условия. Для проверки оцените число Рейнольдса Re = vd/ν и учитывайте форму канала.

Утверждать, что в узком участке трубы давление всегда больше. Часто площадь и давление ошибочно связывают напрямую. В горизонтальном потоке сужение увеличивает скорость, а по уравнению Бернулли обычно уменьшает статическое давление. Проверяйте одновременно скорость, высоту и условия потока: одного факта о ширине трубы недостаточно.

Применять уравнение Бернулли без проверки условий. Его записывают как универсальное правило для любой жидкости, забывая о вязкости и потерях энергии. Уравнение подходит для установившегося потока идеальной или слабо вязкой жидкости вдоль линии тока, если потери невелики. Перед расчётом проверьте эти условия; при существенном сопротивлении понадобится учитывать потери.

Связь с другими темами

Чтобы понять течение и уравнение Бернулли, нужно знать плотность и давление, а также работу, энергию и закон сохранения энергии. Уравнение неразрывности связывает площади сечений трубы со скоростями потока. Оно становится первым шагом во многих задачах: сначала по нему находят скорость, а затем используют эту величину в уравнении Бернулли.

Эти закономерности применяются не только к воде. Ими пользуются при изучении движения газов и аэродинамики, а также при объяснении работы водопроводов, распылителей и карбюраторов. Связь скорости с давлением помогает разбирать и возникновение подъёмной силы крыла, хотя для реального крыла важна полная картина обтекания.

Что запомнить

• Ламинарное течение — упорядоченное движение жидкости слоями.
• Турбулентное течение сопровождается вихрями и перемешиванием.
• Чем больше скорость и размер канала, тем вероятнее турбулентный режим; большая вязкость способствует ламинарному течению.
• Для установившегося потока выполняется уравнение неразрывности Av = const.
• Уравнение Бернулли связывает давление, скорость и высоту потока.
• При увеличении скорости потока его статическое давление обычно уменьшается.
• Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии для потока жидкости.