§ 63. Потенциал электростатического поля и разность потенциалов

Определения и обозначения

Потенциал электростатического поля φ — скалярная физическая величина, равная отношению потенциальной энергии заряда к этому заряду: φ = Wп/q. Иначе говоря, он показывает, какая потенциальная энергия приходится на единицу заряда в выбранной точке. Благодаря делению на q характеристика не зависит от того, какой по величине пробный заряд мы поместили в поле.

Разность потенциалов между двумя точками — величина, равная отношению работы электростатического поля при перемещении заряда к этому заряду: φ1 − φ2 = A12/q. Она показывает, какую работу поле совершит на единицу заряда при движении из точки 1 в точку 2. Знать её удобно, когда требуется определить работу поля для заряда любой величины.

Электрическое напряжение U12 — разность потенциалов между двумя точками: U12 = φ1 − φ2. Напряжение указывает, насколько различаются потенциалы начальной и конечной точек, и имеет ту же единицу измерения, что и потенциал. Если направление перемещения поменять, порядок вычитания и знак напряжения изменятся.

Эквипотенциальная поверхность — поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одинаковое значение. При движении заряда вдоль неё разность потенциалов равна нулю, поэтому работа электростатического поля также равна нулю. Такие поверхности помогают наглядно описывать распределение потенциала в поле.

Как это устроено

Потенциальная энергия зависит от заряда: если пробный заряд увеличить в несколько раз, энергия взаимодействия с тем же полем изменится во столько же раз. Поэтому одной энергией нельзя характеризовать поле независимо от выбранного пробного заряда. Деление Wп на q убирает этот множитель, и отношение Wп/q определяется полем и точкой, а не величиной пробного заряда. Именно это отношение называют потенциалом.

Потенциальную энергию отсчитывают от выбранного нулевого уровня, поэтому и числовое значение потенциала зависит от этого выбора. Для одиночного точечного заряда удобно принять потенциал равным нулю на бесконечности: далеко от заряда его влияние становится сколь угодно малым. При таком выборе потенциал на расстоянии r получается из работы поля при переносе пробного заряда от бесконечности к данной точке: φ = kQ/r, где k — постоянная, а Q — заряд-источник. Знак φ совпадает со знаком Q.

При перемещении заряда поле совершает работу за счёт изменения потенциальной энергии: A12 = Wп1 − Wп2. Подставив Wп = qφ, получаем A12 = q(φ1 − φ2), или A12 = qU12. Поэтому знак работы определяется и знаком переносимого заряда, и порядком потенциалов. Поскольку электростатическое поле потенциальное, работа определяется только начальной и конечной точками: промежуточный маршрут не меняет разность энергий.

Если поле создают несколько зарядов, вклад каждого в потенциал можно найти отдельно. Потенциал является скаляром, поэтому отдельные значения складывают алгебраически, сохраняя знаки зарядов: φ = φ1 + φ2 + … . Например, положительный заряд создаёт положительный потенциал, а отрицательный — отрицательный. Такой способ позволяет найти потенциал точки без сложения векторов напряжённости.

На эквипотенциальной поверхности потенциал не меняется, поэтому перемещение заряда вдоль неё не требует работы поля. Силовая линия показывает направление напряжённости, то есть направление силы, действующей на положительный пробный заряд. Если бы линия имела составляющую вдоль эквипотенциальной поверхности, поле совершало бы работу при движении по ней, а потенциал менялся бы. Поэтому силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены туда, где потенциал убывает.

Потенциал, разность потенциалов и напряжение

Пользуйся столбцом «Потенциал», когда рассматриваешь энергетическую характеристику одной точки или вычисляешь потенциал от источников поля. Для работы при перемещении заряда нужны потенциалы обеих точек и их разность в заданном порядке. Перед подстановкой проверь направление перемещения: индекс 12 означает движение из точки 1 в точку 2.

Разбор задач

Потенциал точечного заряда

Условие: определить потенциал поля заряда Q = 6 нКл в точке на расстоянии 30 см. Заряд положительный, поэтому ожидаем положительный потенциал. Используем формулу для точечного заряда при нуле на бесконечности.

1. Переведём величины в СИ: Q = 6 · 10⁻⁹ Кл, r = 0,30 м.
2. Подставим в φ = kQ/r, взяв k = 9 · 10⁹ Н·м²/Кл²: φ = (9 · 10⁹ · 6 · 10⁻⁹)/0,30 = 180 В.
3. Проверим знак: Q положительный, значит и φ положителен. Ответ: φ = 180 В.

Работа поля при перемещении заряда

Условие: заряд q = 2 мкКл перемещают из точки с потенциалом 400 В в точку с потенциалом 100 В. Требуется найти работу поля. Сначала определим изменение потенциала именно в порядке движения: из первой точки во вторую.

1. Находим разность: U12 = φ1 − φ2 = 400 − 100 = 300 В.
2. Переводим заряд: q = 2 · 10⁻⁶ Кл. Используем A12 = qU12: A12 = 2 · 10⁻⁶ · 300 = 6 · 10⁻⁴ Дж.
3. Работа положительна: положительный заряд движется к меньшему потенциалу, поэтому поле совершает работу. Ответ: A12 = 6 · 10⁻⁴ Дж.

Система точечных зарядов

Условие: поле создают Q1 = +2 нКл и Q2 = −1 нКл. В точке A расстояния до них равны 0,30 м и 0,20 м, а в точке B — 0,60 м и 0,40 м соответственно. Найти потенциалы A и B и работу поля при переносе q = 2 мкКл из A в B. Поскольку потенциал скалярный, сначала складываем вклады зарядов с их знаками.

1. В точке A: φA = kQ1/r1 + kQ2/r2 = 9 · 10⁹ · 2 · 10⁻⁹/0,30 − 9 · 10⁹ · 1 · 10⁻⁹/0,20 = 60 − 45 = 15 В.
2. В точке B: φB = 9 · 10⁹ · 2 · 10⁻⁹/0,60 − 9 · 10⁹ · 1 · 10⁻⁹/0,40 = 30 − 22,5 = 7,5 В.
3. Разность для движения A → B равна 15 − 7,5 = 7,5 В. Тогда AAB = q(φA − φB) = 2 · 10⁻⁶ · 7,5 = 1,5 · 10⁻⁵ Дж. Ответ: φA = 15 В, φB = 7,5 В, AAB = 1,5 · 10⁻⁵ Дж.

Типичные ошибки

Путать потенциал с напряжённостью — значит смешивать разные характеристики поля. Это происходит потому, что обе величины описывают одно поле, но потенциал является скаляром, а напряжённость — вектором, связанным с силой. Проверь себя вопросом: нужно ли указывать направление? Для потенциала — нет, для напряжённости — да.

При вычислении разности потенциалов легко переставить точки и получить противоположный знак. Ошибка возникает, если забыть, что U12 = φ1 − φ2 соответствует движению из 1 в 2. Перед расчётом запиши начало и конец перемещения, а затем вычитай потенциал конечной точки из потенциала начальной.

Иногда считают, что потенциал зависит от величины пробного заряда, потому что в определении присутствует q. Но потенциальная энергия пропорциональна этому заряду, и при вычислении Wп/q его влияние сокращается. Проверка проста: для одной точки поля отношение энергии к заряду должно получаться одинаковым при разных пробных зарядах.

При нескольких источниках поля нельзя складывать только модули их потенциалов. Так поступают, забывая, что отрицательные заряды создают отрицательный потенциал относительно выбранного нуля. Записывай вклад каждого источника отдельно со знаком Q, а в конце сложи числа алгебраически.

Связь с другими темами

Для изучения потенциала нужны понятия работы силы и потенциальной энергии, закон сохранения энергии, закон Кулона и напряжённость электростатического поля. Они объясняют, откуда берётся энергия заряда и как поле действует на него. Разность потенциалов далее становится основой понятия электрического напряжения при изучении источников тока и закона Ома. Потенциал также помогает находить работу поля и описывать распределение поля в конденсаторах и электрических цепях.

Что запомнить

• Потенциал φ — потенциальная энергия единичного положительного заряда.
• Единица потенциала и напряжения — вольт.
• Разность потенциалов равна работе поля по перемещению единичного положительного заряда.
• Для точечного заряда φ = kQ/r, если нулевой потенциал выбран на бесконечности.
• Потенциал системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых отдельными зарядами.
• Работа электростатического поля зависит только от начальной и конечной точек.
• Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны силовым линиям поля.