"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
Кулоновские силы могут совершать работу, когда заряды перемещаются друг относительно друга. Эта работа связана с изменением потенциальной энергии системы: если поле совершает положительную работу, энергия системы уменьшается. Для двух точечных зарядов, если принять энергию на бесконечности равной нулю, энергия взаимодействия равна Eп = kq₁q₂/r. Знак произведения зарядов показывает, положительна или отрицательна энергия, а расстояние определяет её модуль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Работа кулоновской силы — энергия, переданная силой при перемещении заряда в электростатическом поле; её обозначают A. Работа показывает, сколько энергии поле сообщает заряду или отбирает у него. Она зависит от положения заряда до и после перемещения.
Потенциальная энергия взаимодействия — энергия системы зарядов, связанная с их взаимным расположением; её обозначают Eп. Она зависит от величин и знаков зарядов, а также от расстояний между ними. Эта величина помогает описывать взаимодействие через изменение энергии системы.
Нулевой уровень потенциальной энергии — условие, относительно которого отсчитывают значение Eп. Для точечных зарядов обычно принимают, что на бесконечно большом расстоянии энергия равна нулю. Такой выбор удобен: при удалении взаимодействующих зарядов их энергия стремится к принятому нулю.
Энергия взаимодействия двух точечных зарядов — потенциальная энергия системы, состоящей из этих зарядов, обозначаемая Eп. При нулевой энергии на бесконечности она равна Eп = kq₁q₂/r, где k — постоянная Кулона, q₁ и q₂ — заряды, r — расстояние между ними. Формула учитывает и величину энергии, и её знак.
На заряд в электростатическом поле действует кулоновская сила, поэтому при перемещении заряд может получать или отдавать энергию. Работа силы определяется направлением перемещения относительно силы: при движении по направлению силы работа положительна, при движении против неё — отрицательна. Если направления взаимно перпендикулярны, сила не передаёт энергию вдоль перемещения и работа равна нулю. Так знак работы показывает, помогает ли поле перемещению или препятствует ему.
Работа электростатического поля не зависит от траектории, потому что кулоновская сила относится к потенциальным силам. Если заряд приходит в одну и ту же конечную точку из одной и той же начальной, работа поля будет одинаковой, каким бы путём он ни двигался. Причина в том, что энергетическое изменение задаётся положениями заряда, а не длиной или формой пути. Поэтому при вычислении достаточно сравнить начальное и конечное расстояния до источника поля.
Потенциальная энергия системы уменьшается, когда поле совершает положительную работу: энергия переходит из потенциальной формы, связанной с расположением зарядов, в другие формы. Изменение энергии определяют как ΔEп = Eп,кон − Eп,нач. Тогда связь работы поля с изменением энергии записывают A = −ΔEп. Например, если поле совершило работу 5 Дж, потенциальная энергия системы уменьшилась на 5 Дж.
Рассмотрим точечный заряд Q и перемещаемый заряд q, который движется с расстояния r₁ на расстояние r₂. Сила зависит от расстояния, поэтому работу нельзя находить как произведение одной неизменной силы на весь путь. Для электростатического поля результат выражается через начальное и конечное расстояния: A = kQq(1/r₁ − 1/r₂). Формула показывает, что при удалении одноимённых зарядов работа поля отрицательна, а разноимённых — положительна: направление силы в этих случаях различается.
Энергия двух точечных зарядов при выбранном нулевом уровне равна Eп = kq₁q₂/r. Знаменатель r положителен, а k всегда положительна, поэтому знак энергии задаёт произведение зарядов. Для одноимённых зарядов q₁q₂ > 0 и энергия положительна: чтобы сблизить такие заряды, внешняя сила должна совершить работу против отталкивания. Для разноимённых зарядов q₁q₂ < 0 и энергия отрицательна: притяжение делает состояние системы энергетически выгоднее, чем бесконечное удаление зарядов.
| Величина или случай | Формула | Зависимость от зарядов и расстояния | Знак и смысл |
|---|---|---|---|
| Работа поля при перемещении заряда между точками | A = kQq(1/r₁ − 1/r₂) | Зависит от Q, q и начального и конечного расстояний | Положительна, если сила помогает перемещению |
| Изменение потенциальной энергии | ΔEп = Eп,кон − Eп,нач | Разность энергий системы в двух положениях | Показывает, насколько изменилась энергия |
| Связь работы поля с изменением энергии | A = −ΔEп | Величины равны по модулю | Знаки противоположны |
| Энергия взаимодействия двух точечных зарядов | Eп = kq₁q₂/r | Пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна r | Знак определяется произведением q₁q₂ |
| Одноимённые и разноимённые заряды | q₁q₂ > 0 или q₁q₂ < 0 | Зависит от знаков зарядов | У одноимённых энергия положительна, у разноимённых отрицательна |
Сначала определите, какую величину требуется найти: работу, изменение энергии или энергию взаимодействия. Затем выберите соответствующую формулу, подставьте заряды и расстояния в единицах СИ и отдельно проверьте знак результата. Для работы полезно также сопоставить направление силы с перемещением.
Задача 1. Положительный заряд перемещают вдоль силовой линии от положительного точечного заряда Q с расстояния r₁ до расстояния r₂. Нужно определить знак работы поля. Поскольку заряды одноимённые, сила отталкивания направлена от Q. При движении вдоль силовой линии от источника заряд тоже движется от Q, поэтому поле помогает перемещению.
Ответ: работа поля положительна. Здесь важно не путать знак заряда источника с направлением перемещения: знак устанавливают по направлению самой силы.
Задача 2. Заряд q перемещают в поле точечного заряда Q с расстояния r₁ на расстояние r₂. Требуется найти работу поля и изменение потенциальной энергии. Числовых значений нет, поэтому ответ записываем через заданные величины. Знаки Q и q сохраняем в произведении Qq: так формула сама учитывает притяжение или отталкивание.
Ответ: A = kQq(1/r₁ − 1/r₂), ΔEп = −kQq(1/r₁ − 1/r₂). Проверка: работа поля и изменение энергии должны иметь противоположные знаки.
Задача 3. Два точечных заряда q₁ и q₂ находятся на расстоянии r. Нужно выразить энергию взаимодействия и определить новое расстояние, при котором модуль энергии станет в n раз меньше, где n > 1. Исходная энергия может иметь любой знак, поэтому во второй части сравниваем именно модули. Знак при увеличении расстояния не меняется, так как знаки зарядов остаются прежними.
Ответ: Eп = kq₁q₂/r; новое расстояние rнов = nr. Если в условии не задано, во сколько раз уменьшается модуль, вместо n следует подставить указанный множитель.
Ошибка: считать, что работа зависит от траектории. Так думают, представляя работу как силу, умноженную на длину пути; но для электростатического поля результат зависит только от начальной и конечной точек. Проверка: сравните два пути между одинаковыми точками — работа поля будет одной и той же.
Ошибка: записывать A = ΔEп вместо A = −ΔEп. Путаница возникает из-за того, что обе величины описывают изменение энергии; однако рост энергии системы соответствует отрицательной работе поля. Проверка: если поле совершает положительную работу, потенциальная энергия должна уменьшиться.
Ошибка: считать энергию взаимодействия всегда положительной. Это неверно, потому что знак задаёт произведение q₁q₂: одноимённые заряды дают положительную энергию, разноимённые — отрицательную. Проверка: перед подстановкой выпишите знаки обоих зарядов и определите знак их произведения.
Ошибка: подставлять расстояние в сантиметрах или не проверять единицы. Формулы в СИ требуют расстояние в метрах, а заряд — в кулонах; незаметная замена единиц меняет результат во много раз. Проверка: переведите сантиметры в метры до вычисления и убедитесь, что единицы всех величин согласованы.
Для решения задач о работе кулоновских сил нужны закон Кулона, напряжённость электростатического поля и понятие работы силы. Потенциальная энергия связывает электрические явления с законом сохранения механической энергии: при переходе энергии из одной формы в другую можно не отслеживать каждую деталь движения. Позже связь работы с разностью потенциалов поможет понять электрический потенциал и напряжение. Так энергетический подход дополняет описание поля через силы.
Почему работа кулоновской силы не зависит от траектории?
Электростатическое поле является потенциальным: его работа при перемещении заряда определяется только начальной и конечной точками. Поэтому для расчёта достаточно знать расстояния до источника заряда в этих точках.
Как определить знак работы электрического поля?
Сравните направления перемещения заряда и действующей на него силы. Если они совпадают, работа положительна; если противоположны — отрицательна. При перпендикулярном перемещении работа равна нулю.
Почему работа поля равна убыли потенциальной энергии?
Потенциальная энергия показывает, какую работу может совершить поле за счёт взаимодействия зарядов. Поэтому положительная работа поля означает, что энергия системы уменьшилась: A = −ΔEп.
Почему энергия взаимодействия разноимённых зарядов отрицательна?
При разноимённых зарядах произведение q₁q₂ отрицательно, поэтому отрицательна и величина Eп = kq₁q₂/r. При нулевой энергии на бесконечности это означает, что связанная система имеет меньшую энергию, чем заряды, удалённые бесконечно далеко.
Что означает выбор нулевой потенциальной энергии на бесконечности?
Это условие отсчёта: потенциальной энергии при бесконечном удалении зарядов приписывают значение ноль. Энергия на конечном расстоянии тогда показывает, насколько отличается состояние взаимодействующей системы от такого удалённого состояния.
§ 62. Работа кулоновских сил. Энергия взаимодействия точечных зарядов
