§ 61. Напряжённость поля различной конфигурации зарядов

Определения и обозначения

Напряжённость поля точечного заряда — величина E, равная модулю силы, действующей на единичный положительный пробный заряд. Для заряда q на расстоянии r: E = k|q|/r², где k — коэффициент в законе Кулона. Вектор направлен от положительного заряда и к отрицательному. Формула показывает, что при увеличении расстояния поле ослабевает пропорционально квадрату расстояния, поэтому она помогает сравнивать поля в разных точках.

Принцип суперпозиции утверждает: напряжённость результирующего электрического поля равна векторной сумме напряжённостей, созданных каждым зарядом по отдельности. Иначе говоря, каждый источник поля учитывают независимо от остальных, а затем объединяют полученные векторы. Это правило нужно, чтобы находить поле в точке, где действуют несколько зарядов, не заменяя их одним условным зарядом.

Электрический диполь — система из двух равных по модулю разноимённых зарядов, расположенных на небольшом расстоянии друг от друга. У зарядов разные знаки, поэтому их поля направлены по-разному. Представление о диполе позволяет описывать поле пары зарядов и пользоваться симметрией при определении его направления.

Силовая линия электрического поля — воображаемая линия, касательная к которой в каждой точке показывает направление вектора напряжённости. Она помогает наглядно представить, куда было бы направлено действие поля на положительный пробный заряд. По силовым линиям удобно сравнивать направление поля в разных точках, не забывая, что это способ изображения, а не материальные линии.

Как это устроено

Поле нескольких зарядов находят по принципу суперпозиции: сначала определяют напряжённость от каждого заряда в выбранной точке, затем складывают векторы. Такой порядок следует из того, что действие каждого источника можно рассматривать отдельно, а общий эффект складывается из отдельных воздействий. Для каждого заряда используют его величину и расстояние до точки, а знак заряда учитывают при выборе направления. Поэтому расчёт всегда начинается с разметки векторов, а не с арифметики.

Направления векторов от двух зарядов устанавливают по их знакам: поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Значит, в одной и той же точке два вектора могут смотреть в одну сторону, навстречу друг другу или под углом. Как именно они расположены, зависит от положения зарядов и точки наблюдения. Поэтому нельзя заранее решить, складывать или вычитать модули, не изобразив направления.

Если векторы сонаправлены, их модули складываются, потому что оба поля действуют в одну сторону. Если они направлены противоположно, результирующий вектор направлен в сторону большего вектора, а его модуль равен разности модулей. При непараллельных направлениях одного сложения или вычитания недостаточно: векторы складывают геометрически либо раскладывают на взаимно перпендикулярные компоненты. Компоненты вдоль каждой оси складывают отдельно, учитывая их знаки.

У двух одинаковых одноимённых зарядов поле симметрично относительно перпендикуляра к отрезку между ними. В точке этого перпендикуляра расстояния до зарядов равны, поэтому модули напряжённостей от равных зарядов одинаковы. Их составляющие поперёк оси, соединяющей заряды, направлены противоположно и компенсируются. Составляющие вдоль этой оси направлены одинаково, поэтому складываются; точное направление зависит от того, с какой стороны от зарядов находится точка.

В диполе силовые линии начинаются у положительного заряда и заканчиваются у отрицательного, поскольку именно так направлено поле положительного пробного заряда. Равные по модулю заряды расположены симметрично, и эта симметрия помогает сравнивать вклады каждого из них. В характерных точках сначала определяют направления двух векторов, затем выясняют, какие компоненты компенсируются, а какие усиливают друг друга. Так можно понять направление результирующего поля даже без полного численного расчёта.

Напряжённость поля для разных конфигураций зарядов

Сравнивайте конфигурации по строкам: сначала определите направление поля каждого заряда, затем выберите способ сложения. В таблице указана общая схема, но конкретный результат зависит от положения точки. При непараллельных векторах используйте геометрическое сложение или разложение на компоненты.

Разбор задач

Поле одного точечного заряда

Условие. В точке на расстоянии r от точечного заряда q найти модуль напряжённости и указать её направление. Числовые значения q и r не заданы, поэтому ответ записываем через них. Знак q влияет на направление вектора, но в формулу модуля входит абсолютная величина заряда.

1. Записываем формулу для модуля: E = k|q|/r². Она применима к точечному заряду, а расстояние r измеряется от заряда до выбранной точки.
2. Если q положителен, направляем вектор от заряда; если q отрицателен — к нему. Это следует из направления силы, действующей на положительный пробный заряд.
3. Если в условии появятся числа, подставляем модуль q и расстояние в единицах СИ. Квадрат расстояния ставим в знаменатель, поэтому удвоение r уменьшит E в четыре раза.

Ответ: E = k|q|/r²; направление — от положительного заряда или к отрицательному.

Два положительных заряда на одной прямой

Условие. Заряды q₁ и q₂ положительны, точка расположена между ними. Расстояния от точки до зарядов равны r₁ и r₂. Нужно найти напряжённость в этой точке; для численного ответа подставляют заданные значения зарядов и расстояний.

1. Вычисляем модули отдельных полей: E₁ = kq₁/r₁² и E₂ = kq₂/r₂². Оба заряда положительные, поэтому каждый вектор направлен от своего заряда.
2. В точке между зарядами векторы смотрят в противоположные стороны. Например, если q₁ слева, а q₂ справа, то E₁ направлен вправо, а E₂ — влево.
3. Сравниваем модули и вычитаем меньший из большего: E = |E₁ − E₂|. Направление результата совпадает с направлением большего вектора; при равных модулях напряжённость равна нулю.

Ответ: E = |kq₁/r₁² − kq₂/r₂²|, направлена в сторону поля с большим модулем.

Диполь и точка вне линии зарядов

Условие. Заряды +q и −q образуют диполь, а точка находится вне прямой, на которой расположены заряды. Известны величины зарядов и расстояния r₊ и r₋ от них до точки. Требуется найти результирующую напряжённость, используя заданное расположение точки.

1. Находим модули вкладов: E₊ = kq/r₊² и E₋ = kq/r₋². Расстояния обычно различны, поэтому модули полей тоже могут различаться.
2. Определяем направления: вектор от +q направлен от положительного заряда, а вектор от −q — к отрицательному. Изобразив их, выбираем оси и раскладываем каждый вектор на компоненты.
3. Складываем проекции по каждой оси с учётом направлений: Eₓ = E₊ₓ + E₋ₓ, Eᵧ = E₊ᵧ + E₋ᵧ. Затем находим модуль результирующего вектора: E = √(Eₓ² + Eᵧ²), а направление определяем по знакам и величинам компонент.

Ответ: результирующая напряжённость определяется суммой компонент; для численного результата нужны значения зарядов, расстояний и геометрии расположения точки.

Типичные ошибки

Ошибка — складывать модули напряжённостей, не выяснив направления векторов. Так поступают, когда воспринимают напряжённость как обычное число и пропускают рисунок или схему направлений. Если поля направлены навстречу друг другу, такое сложение завышает результат. Проверка: нарисуйте стрелки, а уже затем решайте, складывать модули или вычитать.

Некоторые направляют поле к положительному заряду или от отрицательного. Причина ошибки — смешение направления поля с направлением движения отрицательного заряда. По определению направление E совпадает с силой, действующей на положительный пробный заряд: от положительного источника и к отрицательному. Проверить себя можно, мысленно поместив в точку положительный заряд.

Неверно считать, что результирующая напряжённость зависит от величины пробного заряда. Его вводят, чтобы определить поле через отношение силы к заряду, но поле создают источники, а не сам пробный заряд. Если включить пробный заряд в формулу суперпозиции, результат начнёт зависеть от того, каким зарядом измеряют поле. Проверка: в сумме должны быть напряжённости от источников, а не силы, умноженные на пробный заряд.

Ещё одна ошибка — при увеличении расстояния в несколько раз менять напряжённость во столько же раз. Это происходит, если забыть, что расстояние в формуле поля точечного заряда стоит в квадрате в знаменателе. При увеличении расстояния в n раз E уменьшается в n² раз. Проверка: подставьте новое расстояние в формулу E = k|q|/r² и возведите его в квадрат.

Связь с другими темами

Для этой темы понадобятся определение напряжённости электрического поля и закон Кулона: они позволяют связать характеристики зарядов с силой и полем. Также нужно уметь складывать векторы, поскольку направление — обязательная часть напряжённости. Принцип суперпозиции применяют и тогда, когда заряд распределён непрерывно, а не собран в нескольких точках. Он также пригодится при расчёте поля конденсатора, где нужно учитывать поля зарядов на его обкладках.

Что запомнить

• Поле каждого заряда рассчитывают независимо от остальных зарядов.
• Результирующая напряжённость — векторная сумма напряжённостей отдельных полей.
• Поле положительного заряда направлено от него, отрицательного — к нему.
• Напряжённость поля точечного заряда убывает как квадрат расстояния.
• Для электрического диполя заряды равны по модулю и противоположны по знаку.
• Силовая линия в каждой точке направлена по вектору напряжённости.