"Физика (базовый уровень)", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е., Исаев Д.А., Чаругин В.М.
В специальной теории относительности длина тела и промежуток времени между событиями зависят от движения наблюдателя. Собственная длина измеряется в системе покоя тела, а собственное время — часами, находящимися в месте событий. Для движущегося отрезка длина сокращается, а движущиеся часы отсчитывают больший промежуток между событиями. Эффект заметен при скоростях, близких к скорости света.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Собственная длина — длина отрезка в системе отсчёта, относительно которой его концы неподвижны. Её обозначают L₀. Это значение нужно брать за исходное, когда сравнивают длину тела в разных системах.
Длина отрезка в движущейся системе — расстояние между его концами, измеренное одновременно в этой системе. Обычно её обозначают L. Такое уточнение необходимо, потому что для движущегося тела она может отличаться от собственной длины.
Собственное время — промежуток между двумя событиями, происходящими в одной точке системы отсчёта. Его обозначают Δt₀. Именно этот промежуток показывают часы, покоящиеся в месте событий.
Релятивистское замедление времени — увеличение измеренного промежутка между событиями, если часы движутся относительно наблюдателя. Наблюдатель видит, что движущиеся часы отсчитывают события медленнее. Это не неисправность часов, а свойство измерения времени в разных системах.
В классической механике длину и время обычно считают одинаковыми для всех наблюдателей. Специальная теория относительности исходит из того, что скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах. Чтобы этот постулат выполнялся, координаты и время при переходе между системами должны изменяться согласованно, поэтому длина и длительность не являются абсолютными.
Собственную длину измеряют в системе покоя отрезка: там его концы не меняют координат. Если отрезок движется со скоростью v вдоль своей длины, наблюдатель должен измерить его координаты в один и тот же момент. Результат выражается формулой L = L₀√(1 − v²/c²), поэтому движущаяся длина меньше собственной.
Одновременность здесь принципиальна, потому что за время между двумя измерениями один конец успевает изменить положение. Если зафиксировать сначала один конец, а затем другой, получится расстояние между разными состояниями тела, а не его длина в данный момент. Поэтому оба положения определяют одновременно в одной выбранной системе отсчёта.
Собственный промежуток времени измеряют часами, которые покоятся в точке обоих событий. Например, это могут быть два сигнала, зафиксированные одним прибором в одном месте корабля. Для наблюдателя на Земле эти часы движутся, и промежуток между теми же событиями оказывается больше: Δt = Δt₀/√(1 − v²/c²).
В обеих формулах v — относительная скорость систем или объекта и наблюдателя, а c — скорость света в вакууме. При v, значительно меньшей c, отношение v²/c² мало, и множитель почти равен единице. При приближении v к c длина всё сильнее сокращается, а измеренный промежуток времени всё больше превышает собственный.
| Величина | В какой системе измеряется собственное значение | Собственное значение | Значение в системе, где объект или часы движутся | Зависимость от скорости |
|---|---|---|---|---|
| Длина отрезка | В системе покоя отрезка | L₀ | L = L₀√(1 − v²/c²), L < L₀ | При росте v длина уменьшается |
| Промежуток времени | В системе, где события происходят в одной точке | Δt₀ | Δt = Δt₀/√(1 − v²/c²), Δt > Δt₀ | При росте v промежуток увеличивается |
| Сравнение измерений в разных системах | Покой тела или часов | Исходное значение | Измерение движущегося объекта или часов | Различие определяется v/c |
| Предел при v ≪ c | Любая инерциальная система | Почти совпадает с измеренным | Релятивистская поправка мала | Можно использовать классическое приближение |
Сначала найдите, какая система является системой покоя: для тела это система неподвижных концов, для времени — система покоя часов в месте событий. Затем определите, какая величина дана и какая требуется. После этого выберите формулу и подставьте относительную скорость, проверив, что v не превышает c.
Аппарат движется относительно Земли со скоростью 0,6c, а его собственная длина равна 100 м. Собственная длина измерена в системе покоя аппарата. Требуется найти длину, которую измерит земной наблюдатель.
Ответ: для наблюдателя на Земле длина аппарата равна 80 м. Она меньше собственной, потому что аппарат движется вдоль своей длины.
Два события происходят в одном месте корабля, а его часы показывают между ними 2 ч. Значит, эти часы покоятся в месте событий, и 2 ч — собственный промежуток времени. Скорость корабля относительно Земли равна 0,8c.
Ответ: по земным часам между событиями пройдёт примерно 3 ч 20 мин. Земной наблюдатель измеряет больший промежуток, чем часы корабля.
Собственная длина стержня равна 80 м, а наблюдатель измерил 64 м. Стержень движется вдоль своей оси, поэтому измеренная длина является сокращённой. Нужно найти скорость стержня относительно наблюдателя.
Ответ: скорость стержня равна 0,6c. Она меньше скорости света, как и должно быть для движения обычного тела.
Ошибка: называть длину движущегося тела собственной. Так делают, потому что слово «собственная» иногда воспринимают как «настоящая». Проверка проста: L₀ измеряют только там, где тело покоится, а при движении используют L.
Ошибка: измерять положения концов отрезка в разные моменты времени. Это происходит, когда забывают, что движущийся конец успевает сместиться. Проверьте условие измерения: оба положения должны быть зафиксированы одновременно в одной системе.
Ошибка: путать собственное время со временем наблюдателя. Собственным является только промежуток между событиями в одной точке системы, где покоятся часы. Если часы движутся относительно наблюдателя, его измеренный промежуток больше Δt₀.
Ошибка: менять местами величины в формулах. При движении длина сокращается, а промежуток времени увеличивается, поэтому должно выполняться L < L₀ и Δt > Δt₀. Если результат противоречит этим неравенствам, проверьте, что именно было дано в условии.
Для изучения темы нужны инерциальные системы отсчёта, относительность движения и постулат о постоянстве скорости света. Эти знания объясняют, почему один и тот же объект может иметь разные измеренные длину и скорость в разных системах. Без них формулы сокращения длины и замедления времени выглядят необоснованными.
Дальше тема связывается с преобразованиями Лоренца и относительностью одновременности. Из этих идей следуют другие эффекты специальной теории относительности, включая релятивистские изменения времени и пространства. Поэтому собственная длина и собственное время служат базовыми понятиями для дальнейшего изучения релятивистской физики.
Что называют собственной длиной отрезка?
Собственная длина — это длина отрезка, измеренная в системе отсчёта, относительно которой его концы покоятся. Она обозначается L₀ и является наибольшей длиной этого отрезка.
Почему длина движущегося тела оказывается меньше?
Из-за относительности пространства и времени измерения координат обоих концов должны выполняться одновременно в выбранной системе. При движении вдоль своей длины результат получается меньше собственной длины: L = L₀√(1 − v²/c²).
Как определить, является ли промежуток времени собственным?
Промежуток является собственным, если оба события происходят в одной точке той системы отсчёта, где находятся покоящиеся часы. Такой промежуток обозначают Δt₀.
Почему движущиеся часы идут медленнее относительно наблюдателя?
Для наблюдателя, относительно которого часы движутся, между двумя последовательными событиями на этих часах проходит больший промежуток времени. Поэтому говорят о замедлении хода движущихся часов: Δt = Δt₀/√(1 − v²/c²).
Что происходит с длиной и временем, если скорость тела намного меньше скорости света?
Если v значительно меньше c, то множитель √(1 − v²/c²) почти равен единице. Сокращение длины и замедление времени становятся практически незаметными, поэтому в обычной жизни применимы классические представления.
§ 37. Относительность длины отрезков и промежутков времени
