"Физика (базовый уровень)", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е., Исаев Д.А., Чаругин В.М.
При скоростях, близких к скорости света, привычные формулы импульса и кинетической энергии дают неверный результат. Релятивистская динамика описывает такие движения с помощью множителя 1/√(1 − v²/c²), где v — скорость тела, а c — скорость света. Она связывает импульс и полную энергию с массой покоя и показывает, почему массивное тело не может разогнаться до скорости света. При малых скоростях эти формулы переходят в классические.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Релятивистский импульс — вектор p = m₀v/√(1 − v²/c²), где m₀ — масса покоя, v — скорость, c — скорость света. Направление импульса совпадает с направлением скорости, потому что множитель перед вектором скорости положителен. В отличие от классического выражения p = mv, здесь учитывается влияние большой скорости: импульс растёт быстрее, чем m₀v.
Энергия покоя — энергия тела, обусловленная его массой покоя: E₀ = m₀c². Эта формула выражает связь массы и энергии: масса соответствует запасу энергии даже тогда, когда тело не движется. Поэтому энергия покоя не равна нулю у неподвижного тела и служит частью его полной энергии.
Полная энергия тела равна E = m₀c²/√(1 − v²/c²). Она учитывает как энергию покоя, так и энергию, связанную с движением. Чтобы выделить последнюю, из полной энергии вычитают энергию покоя.
Релятивистская кинетическая энергия — разность полной энергии и энергии покоя: Eₖ = E − E₀. Она показывает, насколько энергия тела увеличилась из-за движения по сравнению с состоянием покоя. При малых скоростях это выражение переходит в классическую формулу Eₖ = m₀v²/2.
Классические формулы импульса и кинетической энергии хорошо работают, пока скорость намного меньше скорости света. При больших скоростях их продолжение привело бы к неверным результатам, поэтому в релятивистских выражениях появляется множитель 1/√(1 − v²/c²). Он близок к единице при малом v, но быстро растёт при приближении скорости к c. Именно этот множитель учитывает особенности движения, которые классическая механика не описывает.
Формула импульса получается умножением вектора скорости на массу покоя и релятивистский множитель: p = m₀v/√(1 − v²/c²). При увеличении скорости растёт не только v, но и сам множитель, поэтому импульс увеличивается быстрее, чем по закону p = m₀v. Если v стремится к c, величина 1 − v²/c² стремится к нулю, а импульс — к бесконечности. Для разгона тела с ненулевой массой покоя до скорости света понадобился бы неограниченный импульс.
Полная энергия тоже содержит этот множитель: E = m₀c²/√(1 − v²/c²). При v = 0 множитель равен единице, и остаётся энергия покоя E₀ = m₀c². Поэтому движение добавляет к энергии покоя величину Eₖ = E − E₀, то есть Eₖ = m₀c²(1/√(1 − v²/c²) − 1). Такое выделение помогает не смешивать энергию, связанную с массой, и энергию движения.
Импульс и полная энергия связаны соотношением E² = p²c² + m₀²c⁴. В него входят полная энергия E, модуль импульса p, масса покоя m₀ и скорость света c; скорость тела отдельно указывать не нужно. Формула позволяет находить энергию по импульсу и массе покоя или, наоборот, связывать эти величины. При v ≪ c релятивистский множитель можно считать близким к единице, поэтому импульс приближается к m₀v, а кинетическая энергия — к m₀v²/2. В повседневных условиях скорости намного меньше c, и различие между релятивистским и классическим расчётом практически незаметно.
| Величина или условие | Классическая механика | Релятивистская механика |
|---|---|---|
| Область применимости | Скорость намного меньше c | Особенно важна при скорости, близкой к c |
| Импульс | p = mv | p = m₀v/√(1 − v²/c²) |
| Кинетическая энергия | Eₖ = mv²/2 | Eₖ = E − E₀ |
| Полная энергия | В классической механике не учитывается энергия покоя | E = m₀c²/√(1 − v²/c²) |
| Поведение при приближении скорости к скорости света | Формулы не описывают этот предел корректно | Импульс и энергия неограниченно возрастают |
Сначала определите скорость тела относительно c, а затем выберите подходящий столбец. Если v ≪ c, классические формулы дают достаточную точность; при больших скоростях используйте релятивистские выражения. Обратите внимание: в таблице m в классических формулах обозначает массу тела, а m₀ в релятивистских — массу покоя.
Тело массой покоя 2,0 кг движется со скоростью 0,6c. Найдём импульс по формуле p = m₀v/√(1 − v²/c²). Сначала вычислим безразмерный множитель, а затем подставим скорость; в ответе импульс будет выражен через c.
Так как c ≈ 3,0·10⁸ м/с, получаем p ≈ 4,5·10⁸ кг·м/с. Здесь релятивистский результат на 25% больше классического m₀v: это следствие множителя, который нельзя отбросить при скорости 0,6c. Ответ: p = 1,5 кг·c ≈ 4,5·10⁸ кг·м/с.
Найдём энергию покоя тела массой 1,0 г. В формулу E₀ = m₀c² нужно подставлять массу в килограммах, иначе результат не будет выражен в джоулях. Скорость света возводим в квадрат до умножения на массу.
Размерность кг·м²/с² соответствует джоулю. Несмотря на небольшую массу, энергия покоя получается большой из-за огромного значения c². Ответ: E₀ ≈ 9,0·10¹³ Дж.
Частица имеет импульс p и массу покоя m₀. Нужно найти её полную энергию, а затем кинетическую; численных значений для p и m₀ нет, поэтому ответ запишем формулой. Связь энергии с импульсом удобна здесь тем, что скорость частицы искать не требуется.
При p = 0 выражение даёт E = m₀c², а кинетическая энергия равна нулю, что соответствует покоящейся частице. При ненулевом импульсе полная энергия больше энергии покоя, поэтому Eₖ положительна. Ответ: E = √(p²c² + m₀²c⁴), Eₖ = √(p²c² + m₀²c⁴) − m₀c².
Подставлять скорость в релятивистскую формулу как отдельное число в м/с и забывать о её отношении к c — частая ошибка при вычислении множителя. Сначала проверьте, что под корнем используется безразмерное отношение v²/c². Например, для скорости 0,6c нужно подставить отношение 0,6, а не число 0,6·3,0·10⁸.
Считать энергию покоя кинетической энергией нельзя: первая связана с массой и остаётся у неподвижного тела, вторая возникает из-за движения. Путаница появляется потому, что обе величины измеряются в джоулях. Проверьте смысл формул: E₀ = m₀c², а Eₖ = E − E₀.
Нельзя подставлять v = c и считать, что для массивного тела получится конечный импульс или энергия. При этом знаменатель √(1 − v²/c²) становится равен нулю, а формулы показывают неограниченный рост величин. Если в условии тело имеет ненулевую массу покоя, его скорость должна быть меньше c.
Классические формулы не подходят для скорости, близкой к c, хотя выглядят проще. Их продолжают применять, потому что в обычных задачах они хорошо работают и запоминаются. Перед расчётом сравните v и c: при v ≪ c допустимо классическое приближение, а при заметной доле c используйте релятивистские формулы.
Для изучения релятивистской динамики нужны классические определения импульса и кинетической энергии, а также понимание закона сохранения энергии и импульса. Они помогают увидеть, какие привычные идеи сохраняются, а какие формулы требуют изменения при больших скоростях. Соотношение массы и энергии связывает специальную теорию относительности с ядерной физикой. Его используют при анализе ядерных реакций и превращений частиц, когда часть массы превращается в энергию или энергия — в массу.
Почему импульс тела увеличивается при приближении его скорости к скорости света?
В релятивистской формуле импульса есть множитель 1/√(1 − v²/c²). При приближении v к c знаменатель стремится к нулю, поэтому импульс неограниченно возрастает. Для дальнейшего разгона тела требуется всё больше энергии.
Что означает энергия покоя и есть ли она у неподвижного тела?
Энергия покоя E₀ = m₀c² — энергия, связанная с массой покоя тела. Она есть и у неподвижного тела, поскольку масса покоя не исчезает при отсутствии движения.
Чем полная энергия отличается от кинетической?
Полная энергия включает энергию покоя и энергию движения. Кинетическая энергия равна разности полной энергии и энергии покоя: Eₖ = E − E₀.
Как найти полную энергию, если известны импульс и масса покоя?
Используйте связь E² = p²c² + m₀²c⁴. Полная энергия равна положительному корню: E = √(p²c² + m₀²c⁴).
Когда можно пользоваться классическими формулами импульса и кинетической энергии?
Классические формулы достаточно точны, когда скорость тела намного меньше скорости света, то есть v ≪ c. При таких скоростях релятивистский множитель близок к единице, а формула кинетической энергии приближается к Eₖ = m₀v²/2.
§ 38. Элементы релятивистской динамики
