§ 41. Фотон. Уравнение фотоэффекта

Определения и обозначения

Фотон — квант электромагнитного излучения, то есть отдельная порция энергии света. Он не имеет электрического заряда и в вакууме распространяется со скоростью света. Понятие фотона нужно, чтобы описывать передачу энергии света веществу не непрерывно, а отдельными порциями.

Энергия фотона — энергия одного кванта излучения, определяемая его частотой: E = hν. Здесь h — постоянная Планка, а ν — частота; эта формула позволяет сравнивать энергию фотонов разных видов излучения. Энергию можно также находить по длине волны: E = hc/λ.

Работа выхода — минимальная энергия, необходимая для удаления электрона из вещества. Её обозначают Aвых, и она зависит от материала поверхности. Эта величина показывает, сколько энергии фотона должно быть затрачено прежде, чем электрон сможет покинуть вещество.

Уравнение фотоэффекта выражает закон сохранения энергии при поглощении фотона электроном. Энергия фотона расходуется на работу выхода и кинетическую энергию вылетевшего электрона. Уравнение нужно, чтобы связать свойства падающего света с энергией фотоэлектронов.

Как это устроено

Атомы и молекулы вещества могут обмениваться энергией с электромагнитным излучением только определёнными порциями. Поэтому излучение испускается и поглощается фотонами, а энергия каждого фотона связана с частотой. Такой квантовый обмен объясняет, почему при взаимодействии света с отдельным электроном нельзя считать, что энергия поступает к нему бесконечно малыми частями.

Из формулы Планка E = hν следует, что повышение частоты увеличивает энергию каждого фотона. Поскольку для волны в вакууме c = λν, ту же формулу можно записать как E = hc/λ: чем короче волна, тем энергичнее фотон. Интенсивность света при неизменной частоте связана прежде всего с количеством фотонов, падающих на поверхность за единицу времени, а не с энергией одного фотона.

При фотоэффекте электрон поглощает фотон целиком и получает его энергию. Сначала электрону необходимо преодолеть притяжение вещества и выйти наружу; на это расходуется работа выхода. Если энергия фотона превышает эту минимальную затрату, оставшаяся энергия становится кинетической энергией электрона.

Для электронов, вылетающих с максимальной кинетической энергией, закон сохранения энергии записывается так: hν = Aвых + Eк max. Слагаемое hν — энергия поглощённого фотона, Aвых — энергия, необходимая для выхода электрона, а Eк max — наибольшая кинетическая энергия фотоэлектрона. Максимум указывают потому, что электроны могут терять часть энергии внутри вещества до выхода на поверхность.

Фотоэффект начинается, когда энергии фотона хватает на работу выхода: hν ≥ Aвых. На границе порога избытка энергии нет, поэтому νкр = Aвых/h, а соответствующая длина волны λкр = hc/Aвых. При ν меньше νкр или при длине волны больше λкр фотоэффекта не будет: увеличение числа фотонов не увеличивает энергию каждого отдельного фотона.

Основные величины и соотношения для фотона и фотоэффекта

Сначала определите, какие величины известны и что требуется найти, затем выберите строку с подходящей формулой. В задачах проверяйте, что длина волны записана в метрах, а энергия — в джоулях. Если известна частота, для проверки возможности фотоэффекта сравните hν с работой выхода.

Разбор задач

Задача 1. Найти энергию фотона излучения с длиной волны 500 нм. Длину волны переводим в метры: 500 нм = 5,0 · 10⁻⁷ м. Используем формулу через длину волны, поскольку частота не дана: E = hc/λ. Берём h = 6,63 · 10⁻³⁴ Дж·с и c = 3,0 · 10⁸ м/с.

1. Подставим значения: E = (6,63 · 10⁻³⁴ · 3,0 · 10⁸)/(5,0 · 10⁻⁷).
2. Вычислим: E ≈ 3,98 · 10⁻¹⁹ Дж.
3. Проверим порядок: более короткая волна дала бы большую энергию, поэтому значение для видимого света должно быть очень малым в джоулях.

Ответ: энергия фотона приблизительно равна 4,0 · 10⁻¹⁹ Дж.

Задача 2. Работа выхода вещества равна 3,3 · 10⁻¹⁹ Дж. Найти красную границу — пороговую частоту и длину волны. На границе фотоэффекта электрон только покидает вещество, поэтому его кинетическая энергия равна нулю. Уравнение Эйнштейна принимает вид hνкр = Aвых.

1. Выразим частоту: νкр = Aвых/h.
2. Подставим данные: νкр = (3,3 · 10⁻¹⁹)/(6,63 · 10⁻³⁴) ≈ 5,0 · 10¹⁴ Гц.
3. Для длины волны используем λкр = c/νкр: λкр ≈ (3,0 · 10⁸)/(5,0 · 10¹⁴) = 6,0 · 10⁻⁷ м.

Ответ: νкр ≈ 5,0 · 10¹⁴ Гц, λкр ≈ 6,0 · 10⁻⁷ м, или 600 нм.

Задача 3. На металл падает свет частотой 8,0 · 10¹⁴ Гц, работа выхода равна 3,0 · 10⁻¹⁹ Дж. Найти максимальную скорость фотоэлектронов и задерживающее напряжение. Сначала вычислим избыток энергии фотона над работой выхода. Эту энергию можно использовать как кинетическую энергию электрона или приравнять к работе электрического поля, останавливающего его.

1. Найдём энергию фотона: hν = 6,63 · 10⁻³⁴ · 8,0 · 10¹⁴ = 5,30 · 10⁻¹⁹ Дж.
2. По уравнению Эйнштейна Eк max = hν − Aвых = 2,30 · 10⁻¹⁹ Дж.
3. Из Eк max = mv²/2 получим v = √(2Eк max/m). При m = 9,11 · 10⁻³¹ кг скорость около 7,1 · 10⁵ м/с.
4. Из eUз = Eк max следует Uз = Eк max/e. При e = 1,60 · 10⁻¹⁹ Кл получаем Uз ≈ 1,44 В.

Ответ: максимальная скорость около 7,1 · 10⁵ м/с, задерживающее напряжение около 1,44 В.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что энергия фотона растёт с интенсивностью света. Её задаёт частота, а интенсивность при той же частоте связана с числом фотонов; такое смешение возникает из-за привычной волновой картины света. Проверьте себя: если частота не изменилась, энергия одного фотона по формуле hν тоже не изменилась.

Иногда длину волны в метрах подставляют в формулу E = hν вместо частоты. Это неверно, потому что λ — не ν; сначала найдите ν = c/λ или сразу примените E = hc/λ. Самопроверка проста: единицы результата должны быть джоулями, а не произведением несогласованных величин.

Работу выхода путают с максимальной кинетической энергией электрона, хотя это разные части баланса. Работа выхода расходуется на выход из вещества, а кинетическая энергия остаётся после этого; путаница часто возникает при чтении уравнения без проверки смысла каждого слагаемого. Подставьте значения в hν = Aвых + Eк max: их сумма должна равняться энергии фотона.

Увеличение интенсивности не вызывает фотоэффект при частоте ниже пороговой. Даже множество таких фотонов не передаёт одному электрону нужную энергию одновременно, поэтому до выхода ему всё равно не хватает энергии. Проверьте условие hν ≥ Aвых: если оно нарушено, следует искать ошибку в рассуждении, а не увеличивать интенсивность.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны связь частоты, длины волны и скорости распространения электромагнитной волны c = λν, а также закон сохранения энергии. Эти знания помогают переходить от характеристик излучения к энергии фотона и понимать, куда она расходуется. Рассмотрение фотона развивает квантовые представления о свете, которые дополняют его волновое описание.

Фотоэффект используют в фотоэлементах, где свет вызывает появление электрического тока или изменение электрического сигнала. Понимание пороговой частоты и передачи энергии фотонами также пригодится при изучении других квантовых явлений и их практических применений. Уравнение Эйнштейна позволяет связать измеряемые характеристики света с энергией электронов.

Что запомнить

• Энергия фотона равна E = hν и возрастает с частотой.
• Энергия фотона также выражается формулой E = hc/λ.
• Для фотоэффекта электрон поглощает энергию фотона.
• Уравнение фотоэффекта: hν = Aвых + Eк max.
• Фотоэффект возможен, если энергия фотона не меньше работы выхода.
• Красная граница соответствует нулевой максимальной кинетической энергии фотоэлектронов.