§ 45. Противоречия планетарной модели атома. Постулаты Бора

Определения и обозначения

Планетарная модель атома — представление об атоме как о положительном ядре и электронах, движущихся вокруг него подобно планетам вокруг Солнца. Ядро сосредотачивает почти всю массу атома, а электроны определяют его размеры и химические свойства. Модель нужна для объяснения опыта Резерфорда, но сама по себе не описывает устойчивость атома.

Стационарное состояние — состояние атома с определённой энергией, в котором электрон не излучает энергию. Слово «стационарное» означает, что основные характеристики состояния не меняются со временем. Это понятие позволяет объяснить, почему электрон не теряет энергию непрерывно и не падает на ядро.

Постулаты Бора — утверждения, принятые как исходные правила модели атома Бора: существуют разрешённые состояния без излучения, а излучение и поглощение происходят при переходах между ними. Для разрешённых орбит выполняется условие mvr = nħ, где m — масса электрона, v — его скорость, r — радиус орбиты, n = 1, 2, 3, …, ħ = h/(2π). Эти правила связывают строение атома с дискретными спектральными линиями.

Как это устроено

В планетарной модели электрон движется вокруг ядра по искривлённой траектории, поэтому его скорость меняет направление и возникает ускорение. По классической электродинамике ускоренный заряд должен излучать электромагнитные волны. Потеря энергии уменьшала бы радиус орбиты, и электрон за очень короткое время приблизился бы к ядру. Следовательно, классическая модель предсказывает неустойчивый атом, хотя вещество вокруг нас устойчиво.

Классическая физика также ожидала бы непрерывное излучение: при постепенном изменении энергии частота излучения могла бы принимать любые значения. В действительности разреженные газы дают набор отдельных спектральных линий с определёнными частотами. Значит, атом испускает не любые порции энергии, а только такие, которые соответствуют разрешённым изменениям его состояния. Это потребовало отказаться от представления о непрерывном наборе энергий электрона.

Бор предположил, что электрон может находиться только на некоторых орбитах, названных стационарными. На такой орбите электрон движется, но атом не излучает, поэтому энергия состояния остаётся постоянной. Разрешённость орбит выражается условием mvr = nħ: целое число n задаёт номер уровня и не может принимать произвольные значения. Чем больше n, тем обычно выше энергия атома и тем дальше расположена соответствующая орбита.

Излучение появляется не во время самого движения по стационарной орбите, а при переходе электрона с одного уровня на другой. При переходе вниз атом испускает фотон, а при переходе вверх поглощает его. Энергия фотона равна разности энергий уровней: hν = Eᵢ − Eₖ для излучения при переходе с начального уровня i на конечный k. Поэтому каждой паре уровней соответствует определённая частота, а спектр состоит из отдельных линий.

Планетарная модель и постулаты Бора

Таблица помогает отделить идеи классической планетарной модели от новых правил Бора. При анализе задачи сначала определяют, о каком состоянии или переходе идёт речь, затем выбирают соответствующее условие и формулу.

Разбор задач

Задача. Электрон в атоме водорода переходит с уровня n = 3 на уровень n = 2. Определите энергию испущенного фотона. Энергии уровней водорода задаются формулой Eₙ = −13,6 эВ/n². Знак «минус» показывает, что электрон связан с ядром, поэтому для энергии фотона нужно найти положительную разность энергий начального и конечного состояний.

1. Запишем энергии начального и конечного уровней: E₃ = −13,6/3² = −13,6/9 ≈ −1,51 эВ, а E₂ = −13,6/2² = −13,6/4 = −3,40 эВ. Уровень n = 3 имеет большую энергию, поэтому переход на n = 2 сопровождается излучением.
2. Применим постулат о переходах: Eф = E₃ − E₂. Подстановка даёт Eф = (−1,51) − (−3,40) ≈ 1,89 эВ. Вычитание отрицательных чисел важно выполнить со скобками, иначе можно получить неверный знак.
3. При необходимости переведём результат в джоули: 1 эВ ≈ 1,60 · 10⁻¹⁹ Дж, поэтому Eф ≈ 1,89 · 1,60 · 10⁻¹⁹ Дж ≈ 3,02 · 10⁻¹⁹ Дж. Такой результат положителен, как и должна быть энергия испущенного фотона.
4. Проверим смысл ответа: конечный уровень ниже начального, значит атом потерял энергию, а фотон её унес. Если бы электрон переходил с n = 2 на n = 3, та же величина энергии потребовалась бы для поглощения фотона.

Ответ: энергия испущенного фотона равна примерно 1,89 эВ, или 3,02 · 10⁻¹⁹ Дж. Этот переход создаёт одну определённую спектральную линию, поскольку разность энергий уровней фиксирована. Изменение начального или конечного уровня привело бы к другой частоте фотона.

Типичные ошибки

Ошибка 1: считать, что электрон излучает на каждой орбите. Так рассуждают по аналогии с классической моделью заряда, движущегося с ускорением. В модели Бора стационарная орбита не сопровождается излучением. Проверка проста: излучение связывают не с номером орбиты, а с переходом между двумя уровнями.

Ошибка 2: путать энергию уровня и энергию фотона. Энергии связанных состояний водорода отрицательны, а энергия фотона положительна. Фотон получают как разность уровней при переходе вниз: Eф = Eᵢ − Eₖ. Проверьте направление перехода и убедитесь, что при излучении конечный уровень имеет меньшую энергию.

Ошибка 3: считать уровни непрерывными или принимать n за любое число. В условии Бора n — положительное целое число, а не произвольная дробь. Именно дискретность n объясняет отдельные спектральные линии. Для самопроверки перечислите допустимые значения n: 1, 2, 3 и так далее, а затем сравните энергию выбранных уровней.

Связь с другими темами

Постулаты Бора опираются на идеи квантовой физики: энергия излучения связана с частотой формулой E = hν. С атомными спектрами тема связана через правило hν = Eᵢ − Eₖ, а с опытами Резерфорда — через ядерную модель атома, которую Бор попытался сделать устойчивой.

Модель Бора хорошо описывает атом водорода и водородоподобные ионы, но для сложных атомов её недостаточно. Дальнейшее развитие темы приводит к квантовой механике, где электрон описывается не точной орбитой, а состоянием с определённой вероятностью обнаружения.

Что запомнить

• Классическая планетарная модель предсказывает излучение энергии электроном и падение электрона на ядро.
• В атоме существуют стационарные состояния, в которых электрон не излучает.
• Разрешённые орбиты подчиняются условию mvr = nħ, где n = 1, 2, 3, ….
• Излучение и поглощение происходят только при переходах между уровнями.
• Энергия фотона равна разности энергий уровней: hν = Eᵢ − Eₖ.
• Дискретные уровни энергии объясняют линейчатые спектры атомов.