"Физика (базовый уровень)", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е., Исаев Д.А.; под ред. Пурышевой Н.С.
Путь и перемещение описывают движение тела, но отвечают на разные вопросы. Путь показывает, сколько тело прошло вдоль траектории, а перемещение — где оно оказалось относительно начального положения. Путь зависит от всего маршрута и не убывает, перемещение определяется только начальной и конечной точками. Различая эти величины, легче описывать движение, находить скорость и решать задачи с несколькими участками пути.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Траектория — линия, вдоль которой движется тело. Её форма зависит от выбранной системы отсчёта: это тело отсчёта, координаты и часы, с помощью которых описывают движение. Поэтому, прежде чем говорить о маршруте, нужно уточнить, относительно чего наблюдают движение.
Путь — длина участка траектории, пройденного телом за рассматриваемое время; его обозначают s. Это скалярная величина: ей достаточно числового значения и единицы измерения, направление не указывают. Путь помогает оценить длину всего пройденного маршрута.
Перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с конечным; его обозначают Δr. Вектор направлен от начального положения к конечному, поэтому у него есть и модуль, и направление. Он нужен, чтобы описать, как изменилось положение тела за время движения.
Модуль перемещения — длина вектора перемещения, то есть прямое расстояние между начальной и конечной точками. Он не превышает путь: маршрут может быть длиннее прямого отрезка между его концами. Сравнение этих величин помогает понять, насколько путь тела отличался от кратчайшего соединения точек.
Путь находят как длину пройденного участка траектории, потому что тело проходит последовательно все его части. Длины отдельных участков складывают, поэтому добавленное движение не может уменьшить уже набранный путь. Значение зависит от формы траектории: между одними и теми же точками можно пройти по прямой или по более длинному извилистому маршруту.
Перемещение определяется только начальным и конечным положениями, потому что это вектор, соединяющий именно эти две точки. Если тело пришло в ту же конечную точку другим путём, вектор останется прежним. Промежуточные повороты и петли меняют путь, но не меняют перемещение, пока его концы совпадают.
Путь и модуль перемещения совпадают при прямолинейном движении без изменения направления: пройденная траектория тогда является тем же отрезком, который соединяет начало и конец. Если тело движется по кривой, длина дуги превышает длину хорды между её концами. При развороте часть пути приходится проходить обратно, но конечная точка может приблизиться к начальной, поэтому путь становится больше модуля перемещения.
Если тело вернулось в исходную точку, начало и конец вектора перемещения совпадают. Поэтому вектор равен нулю, хотя тело могло обойти целый круг или пройти любой другой маршрут. Путь при этом показывает длину реально пройденной траектории и остаётся положительным, если тело двигалось.
На плоскости перемещение можно задать проекциями на две координатные оси: Δx и Δy. Если оси перпендикулярны, проекции образуют катеты прямоугольного треугольника, а вектор перемещения — его гипотенузу. По теореме Пифагора модуль равен |Δr| = √(Δx² + Δy²); знаки проекций задают направления, а при вычислении квадрата учитывается их величина.
| Характеристика | Путь | Перемещение |
|---|---|---|
| Что описывает | Длину пройденного маршрута | Изменение положения тела |
| Обозначение | s | Δr |
| Величина: скалярная или векторная | Скалярная | Векторная |
| Зависимость от траектории | Зависит от пройденного участка траектории | Зависит только от начального и конечного положений |
| Как определяется | Как длина пройденного участка траектории | Вектором от начального положения к конечному |
| Поведение при возвращении в исходную точку | Может быть больше нуля | Равно нулю |
Чтобы выбрать нужную величину, сначала спросите себя, требуется ли длина маршрута или изменение положения тела. Для пути складывают пройденные участки, а для перемещения отмечают начальную и конечную точки. В задачах на плоскости направление перемещения учитывают с помощью проекций.
Задача 1. Пешеход прошёл 300 м по прямой от дома. Найдите путь и модуль перемещения. Движение происходит в одном направлении, поэтому маршрут и отрезок от начала к концу совпадают.
Ответ: путь — 300 м, модуль перемещения — 300 м.
Задача 2. Тело прошло 3 м на восток, а затем 4 м на север. Найдите путь и модуль перемещения. Сначала удобно отдельно определить длину маршрута и прямое расстояние от старта: это разные величины, поэтому у них разные вычисления.
Ответ: путь — 7 м, модуль перемещения — 5 м.
Задача 3. Велосипедист проехал круговую дорожку длиной 400 м и вернулся в точку старта. Определите путь и перемещение. Уточнение о возвращении означает, что начальное и конечное положения совпали, хотя велосипедист прошёл всю дорожку.
Ответ: путь — 400 м, перемещение — нулевое.
Считать путь и перемещение одним и тем же — значит смешивать длину маршрута с вектором между его концами. Ошибку допускают, когда оба понятия называют просто «расстоянием». Проверьте себя: если маршрут включает повороты, петлю или возвращение, путь учитывает их, а перемещение — нет.
Называть перемещение пройденным расстоянием неверно, потому что перемещение задаётся начальным и конечным положениями. Особенно ясно различие при возвращении на старт: вектор перемещения становится нулевым, но пройденный путь остаётся. Чтобы проверить ответ, отметьте начало и конец движения и сравните их.
Модуль перемещения не всегда равен пути. Равенство выполняется только при прямолинейном движении без смены направления; кривой маршрут или разворот увеличивает путь относительно прямого отрезка. Самопроверка простая: изобразите маршрут и сравните его длину с расстоянием между концами.
Вектор перемещения нельзя прикладывать к промежуточной точке траектории: его начало должно совпадать с начальным положением тела, а конец — с конечным. Ошибка возникает, если считать вектор очередным участком маршрута. Проверьте стрелку на схеме: она должна соединять именно две крайние точки рассматриваемого движения.
Чтобы описать путь и перемещение, нужно уметь задавать положение тела относительно системы отсчёта и работать с координатами. Эти знания позволяют определить начальную и конечную точки, а значит, задать вектор перемещения. Понятие вектора и его проекций помогает учитывать направление и вычислять модуль перемещения на плоскости. Далее путь и перемещение понадобятся при изучении скорости и решении задач о движении тел.
Может ли перемещение быть равно нулю, если тело двигалось?
Да. Если тело вернулось в начальную точку, его конечное и начальное положения совпадают, поэтому перемещение равно нулю. При этом путь может быть ненулевым.
Почему путь не может быть меньше модуля перемещения?
Путь складывает длины всех пройденных участков, а модуль перемещения равен прямому расстоянию между начальной и конечной точками. Прямой отрезок не длиннее маршрута, который соединяет те же точки.
Когда путь равен модулю перемещения?
Когда тело движется по прямой и не меняет направление. Тогда весь пройденный участок совпадает с отрезком между начальной и конечной точками.
Зависит ли перемещение от формы траектории?
Нет, если начальное и конечное положения остаются теми же. Перемещение задаётся вектором между этими точками, поэтому промежуточный маршрут его не меняет.
Как найти перемещение, если известны его проекции на две оси?
Проекции задают катеты прямоугольного треугольника, а модуль перемещения — его гипотенузу. Поэтому используют формулу |Δr| = √(Δx² + Δy²), где Δx и Δy — проекции на оси.
§6. Путь и перемещение
