"Физика", Белага В.В., Ломаченков И.А., Панебратцев Ю.А.
При равнопеременном движении скорость за равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину, поэтому движение можно описать точными формулами. Они помогают найти перемещение — изменение положения тела — по начальной скорости, ускорению и времени, а также понять, как результат связан с графиком скорости. Главное — учитывать направление движения и выбирать формулу по известным величинам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнопеременное движение — движение, при котором скорость за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Например, за каждую секунду скорость может увеличиваться на 2 м/с или уменьшаться на 2 м/с. Это понятие нужно, чтобы отличать движение с постоянным ускорением от движения, в котором скорость меняется по-разному.
Перемещение — направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положения тела. При прямолинейном движении его проекция на ось показывает изменение координаты, а не длину всего пройденного пути. По перемещению можно определить, где оказалось тело относительно начального положения и в какую сторону оно сместилось.
Проекция перемещения — разность конечной и начальной координат на выбранной оси: s = Δx = x − x₀. Здесь x₀ — начальная координата, а x — конечная; символом s часто обозначают проекцию перемещения. Она может быть положительной или отрицательной, поэтому при решении задач важно заранее выбрать направление оси.
Ускорение — величина, показывающая, как изменяется скорость за единицу времени. При равнопеременном движении ускорение постоянно, его проекция обозначается a и измеряется в м/с². Зная ускорение, можно понять, насколько изменится скорость за заданное время и как это повлияет на перемещение.
При постоянном ускорении за каждую секунду скорость меняется на одну и ту же величину. Поэтому за время t её изменение составляет at: если ускорение направлено вдоль выбранной оси, скорость возрастает, а если против оси — проекция скорости уменьшается. Отсюда получается закон изменения скорости: v = v₀ + at, где v₀ — начальная, а v — конечная проекция скорости.
Чтобы найти перемещение, можно сначала определить среднюю скорость за весь промежуток. При постоянном ускорении скорость равномерно переходит от v₀ к v, поэтому её среднее значение равно половине суммы этих скоростей: vср = (v₀ + v)/2. Перемещение за время t равно средней скорости, умноженной на время: s = (v₀ + v)t/2.
В формуле средней скорости конечную скорость можно заменить выражением v = v₀ + at. Тогда s = (v₀ + v₀ + at)t/2, а после раскрытия скобок получаем s = v₀t + at²/2. Первый член описывает смещение, которое было бы при сохранении начальной скорости, второй учитывает дополнительное изменение из-за ускорения. Если тело начинает двигаться из состояния покоя, v₀ = 0, и остаётся s = at²/2.
Перемещение можно увидеть и на графике зависимости скорости от времени. За короткий промежуток времени площадь узкой полоски под графиком примерно равна скорости, умноженной на длительность промежутка, то есть перемещению за этот отрезок. Если сложить такие полоски, получится площадь под графиком за всё время; при линейном изменении скорости это трапеция, а при v₀ = 0 — треугольник.
Знак проекции связан с тем, куда тело движется относительно положительного направления оси. Если оно движется туда, проекция перемещения положительна; если в противоположную сторону — отрицательна. Поэтому при торможении нельзя автоматически считать перемещение отрицательным: движущееся вперёд тело может замедляться, но всё ещё перемещаться в положительном направлении, тогда как ускорение направлено назад.
Как это устроено
График показывает, как скорость растёт со временем, а площадь под ним соответствует проекции перемещения.
| Что известно | Формула проекции перемещения | Когда удобно применять |
|---|---|---|
| Начальная и конечная скорости, время | s = (v₀ + v)t/2 | Когда известны обе скорости |
| Начальная скорость, ускорение, время | s = v₀t + at²/2 | Когда известны v₀, a и t |
| Начальная скорость, конечная скорость, ускорение | s = (v² − v₀²)/(2a) | Когда время движения не задано и a ≠ 0 |
Сначала выпиши данные задачи и выбери строку, в которой перечислены известные величины. Затем подставь их в соответствующую формулу, сохраняя знаки проекций и единицы измерения. Если ответ получился отрицательным, это означает, что перемещение направлено против положительного направления оси.
Автомобиль движется равномерно со скоростью 12 м/с в течение 5 с. Найдём проекцию перемещения. При равномерном движении скорость не изменяется, значит ускорение равно нулю, а начальная и конечная скорости одинаковы. Выберем положительное направление по движению автомобиля.
Автомобиль за 5 секунд сместился на 60 м в положительном направлении. Проверка другим способом даёт тот же результат: при неизменной скорости s = vt = 12 · 5 = 60 м. Ответ: s = 60 м.
Велосипедист начинает движение со скоростью 2 м/с и разгоняется с ускорением 1,5 м/с² в течение 4 с. Требуется найти проекцию перемещения. Направим ось вдоль движения, поэтому начальная скорость и ускорение положительны. Поскольку известны v₀, a и t, удобнее взять формулу с этими величинами.
Скорость велосипедиста увеличивается, поэтому перемещение больше, чем было бы при сохранении начальной скорости: за 4 секунды без разгона он прошёл бы 8 м. Полученное значение 20 м согласуется с этим: ускорение добавило ещё 12 м смещения. Ответ: s = 20 м.
Поезд движется со скоростью 20 м/с и равномерно тормозит до остановки за 10 с. Найдём проекцию перемещения, считая положительным направление движения поезда. При торможении скорость уменьшается, но поезд продолжает двигаться вперёд, поэтому его перемещение за это время положительно. Удобно использовать начальную и конечную скорости.
Для проверки можно найти ускорение: a = (v − v₀)/t = (0 − 20)/10 = −2 м/с², то есть оно направлено против движения. Подстановка в формулу s = v₀t + at²/2 также даёт 200 − 100 = 100 м. Ответ: s = 100 м.
Перемещение иногда подменяют пройденным путём. Их значения совпадают, если тело двигалось в одном направлении, поэтому различие легко упустить; при смене направления путь складывается из всех участков, а перемещение зависит только от начального и конечного положений. Проверь себя: путь не бывает отрицательным, а проекция перемещения может иметь любой знак.
При торможении часто забывают знак ускорения или считают, что оно обязательно направлено туда же, куда движется тело. Такое происходит потому, что слово «ускорение» в быту связывают только с разгоном, но в физике оно показывает изменение скорости и может быть направлено против неё. Выбери ось и проверь, уменьшается ли проекция скорости: если тело движется в положительную сторону и замедляется, проекция ускорения отрицательна.
Подстановка чисел без согласования единиц может дать неверный результат. Например, скорость в км/ч нельзя просто подставить в формулу вместе со временем в секундах и ускорением в м/с², потому что единицы не соответствуют друг другу. Перед вычислением переведи величины в совместимые единицы, обычно м/с, с, м/с², а в конце проверь, что перемещение получено в метрах.
Некоторые считают конечную скорость средней, потому что обе величины описывают движение за промежуток времени. Но при разгоне или торможении средняя скорость при постоянном ускорении равна полусумме начальной и конечной, а не просто конечной скорости. Проверь себя: если скорость менялась, сравни обе скорости; одинаковыми они будут только при отсутствии изменения скорости.
Для решения задач нужно знать, что такое скорость, ускорение, время и координата, а также уметь находить проекцию вектора на ось. Эти знания позволяют правильно записать начальные и конечные данные, выбрать направление оси и учесть знак каждой величины. Без этого даже верная формула может привести к неверному ответу.
Формулы перемещения применяют при расчёте разгона и торможения, а также при изучении свободного падения, которое является движением с постоянным ускорением. Они помогают связать описание движения с графиком скорости от времени: площадь под графиком показывает проекцию перемещения. Так уравнения и графики дают разные способы описать одно и то же движение.
Чем перемещение отличается от пройденного пути?
Путь — это длина всей траектории, он не бывает отрицательным. Перемещение показывает, насколько и в какую сторону изменилось положение тела. Если тело двигалось всё время в одном направлении, путь и модуль перемещения совпадают.
Почему в формуле перемещения появляется половина произведения ускорения на квадрат времени?
Ускорение за каждую секунду добавляет к скорости одинаковую величину, поэтому скорость растёт линейно. Средняя скорость при этом равна полусумме начальной и конечной скоростей. При подстановке конечной скорости v = v₀ + at получается s = v₀t + at²/2.
Как определить знак ускорения при торможении?
Сначала выбери положительное направление оси. Если тело движется в положительном направлении, а его скорость уменьшается, ускорение направлено против оси и его проекция отрицательна.
Можно ли применять формулу перемещения, если начальная скорость равна нулю?
Да. В формуле s = v₀t + at²/2 нужно положить v₀ = 0, и получится s = at²/2. Знак результата зависит от направления ускорения относительно выбранной оси.
Как найти перемещение по графику скорости от времени?
Нужно определить площадь фигуры между графиком скорости и осью времени на нужном промежутке. Площадь над осью времени даёт положительную проекцию перемещения, а под осью — отрицательную.
53. Перемещение при равнопеременном движении
