§ 1.18. Потенциальная энергия заряда в однородном электрическом поле. Энергия взаимодействия точечных зарядов

Определения и обозначения

Потенциальная энергия электрического заряда — энергия, определяемая положением заряда в электростатическом поле и выбранным нулевым уровнем. Обычно её обозначают U и измеряют в джоулях. Это понятие нужно, чтобы описывать действие поля через закон сохранения энергии, не вычисляя движение заряда на каждом участке.

Нулевой уровень потенциальной энергии — положение или состояние, относительно которого отсчитывают потенциальную энергию. Его можно выбрать условно, поскольку физический смысл имеет прежде всего разность энергий. Такой выбор задаёт постоянную отсчёта и не меняет работу электрического поля.

Энергия взаимодействия точечных зарядов — потенциальная энергия системы двух зарядов, зависящая от их величин, знаков и расстояния между ними. Для неё используют обозначение U и учитывают произведение q₁q₂. Понятие позволяет найти работу при сближении или удалении зарядов.

Консервативное электрическое поле — поле, работа сил которого определяется только начальным и конечным положениями заряда. Поэтому работа не зависит от формы траектории. Именно это позволяет связать работу поля с изменением потенциальной энергии.

Как это устроено

Изменение потенциальной энергии противоположно работе электрического поля: ΔU = −Aполя. Причина в перераспределении энергии: когда поле само перемещает заряд, оно совершает положительную работу, а потенциальный запас уменьшается. Если внешняя сила медленно перемещает заряд против поля, её работа увеличивает U.

В однородном поле сила, действующая на заряд, постоянна по величине и направлению: F = qE. При перемещении вдоль поля работа равна A = qEd для положительного заряда, движущегося по направлению поля; для общего случая знак учитывается зарядом и направлением перемещения. Поэтому изменение энергии вдоль поля выражается формулой ΔU = −qEd.

Если перемещение образует угол α с направлением поля, работает только его продольная составляющая d cos α. Отсюда A = qEd cos α и ΔU = −qEd cos α. При движении поперёк линий поля cos 90° = 0, поэтому работа и изменение потенциальной энергии равны нулю.

Потенциальная энергия в однородном поле зависит от координаты вдоль поля: U = −qEx + C. Константа C появляется из-за произвольного выбора нулевого уровня и изменяет все значения энергии на одну и ту же величину. Разности энергий, работа поля и результаты физических предсказаний от C не зависят.

Для двух точечных зарядов сила взаимодействия подчиняется закону Кулона и меняется с расстоянием как 1/r². Работа этой силы при изменении расстояния от бесконечности до r приводит к формуле U = kq₁q₂/r, если на бесконечности U = 0. Знак произведения показывает характер взаимодействия: положительный означает отталкивание одноимённых зарядов, отрицательный — притяжение разноимённых.

Потенциальная энергия в однородном поле и энергия взаимодействия точечных зарядов

Таблица помогает быстро выбрать нужную формулу и понять, от чего зависит знак энергии. В однородном поле сначала определяют направление перемещения и его проекцию на поле. Для двух зарядов сначала проверяют знак произведения q₁q₂ и только затем подставляют модули и расстояние.

Одинаковое обозначение U не означает одинаковую физическую ситуацию: в первом случае рассматривают заряд и внешнее поле, во втором — систему двух зарядов. Формула ΔU = −A всегда связывает изменение энергии с работой соответствующих электрических сил.

Разбор задач

Задача 1

Заряд q = 2 мкКл перемещают на d = 0,3 м вдоль линий поля напряжённостью E = 1000 Н/Кл. Считаем, что заряд движется по направлению поля. Требуется найти работу поля и изменение потенциальной энергии.

1. Переведём заряд: q = 2 · 10⁻⁶ Кл.
2. Для движения вдоль поля используем A = qEd.
3. Подставим значения: A = 2 · 10⁻⁶ · 1000 · 0,3 = 6 · 10⁻⁴ Дж.
4. По связи ΔU = −A найдём изменение энергии: ΔU = −6 · 10⁻⁴ Дж.

Ответ: работа поля равна 6 · 10⁻⁴ Дж, а потенциальная энергия уменьшилась на 6 · 10⁻⁴ Дж. Положительный заряд, движущийся по полю, ускоряется за счёт уменьшения U.

Задача 2

Положительный заряд перемещают на d = 0,2 м под углом α = 60° к направлению однородного поля. Численные значения q и E не заданы, поэтому ответ выразим через них. Нужно учесть не всё перемещение, а только его проекцию на поле.

1. Находим проекцию: d∥ = d cos 60° = 0,2 · 0,5 = 0,1 м.
2. Работа поля равна A = qEd cos 60° = 0,1qE.
3. Изменение энергии противоположно работе: ΔU = −qEd cos 60° = −0,1qE.

Ответ: A = 0,1qE, ΔU = −0,1qE. Если заряд положительный и его продольное перемещение направлено по полю, работа положительна, а энергия уменьшается.

Задача 3

Даны q₁ = 3 мкКл, q₂ = −2 мкКл и начальное расстояние r₁ = 0,15 м. Расстояние медленно увеличивают до r₂ = 0,30 м, поэтому кинетической энергией можно пренебречь. Примем k = 9 · 10⁹ Н·м²/Кл² и U = 0 на бесконечности.

1. Произведение зарядов q₁q₂ = −6 · 10⁻¹² Кл², поэтому заряды разноимённые.
2. Начальная энергия: U₁ = kq₁q₂/r₁ = −0,36 Дж.
3. Конечная энергия: U₂ = kq₁q₂/r₂ = −0,18 Дж.
4. Изменение энергии ΔU = U₂ − U₁ = 0,18 Дж.
5. При медленном увеличении расстояния работа внешних сил равна ΔU, то есть 0,18 Дж.

Ответ: начальная энергия равна −0,36 Дж, конечная — −0,18 Дж, работа внешних сил составляет 0,18 Дж. При удалении разноимённых зарядов их энергия увеличивается и приближается к нулю.

Типичные ошибки

Часто работу поля принимают равной изменению энергии без знака: пишут A = ΔU. Ошибка возникает из-за смешения работы внешних сил и работы поля. Проверка проста: положительная работа поля должна уменьшать U, значит ΔU = −A.

Иногда не учитывают знак заряда и считают, что одинаковое перемещение всегда одинаково меняет энергию. Для отрицательного заряда направление силы противоположно направлению поля. Подставляйте заряд со знаком и проверяйте, увеличивается или уменьшается энергия.

Формулу qEd применяют при движении под любым углом. На самом деле при угле α нужна проекция: A = qEd cos α. Проверьте частные случаи: при α = 0 получается qEd, а при α = 90° работа равна нулю.

В формуле двух зарядов иногда заменяют q₁q₂ на произведение модулей или выбирают нулевую энергию на конечном расстоянии. Из-за этого теряется знак притяжения или отталкивания. Сначала запишите условие U = 0 на бесконечности, затем подставьте заряды вместе со знаками.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать работу электрического поля, напряжённость однородного поля и закон Кулона. Работа показывает передачу энергии, напряжённость — действие поля на единичный положительный заряд, а закон Кулона задаёт силу взаимодействия точечных зарядов.

Потенциальная энергия связана с электрическим потенциалом φ и напряжением. Изменение энергии заряда можно записать как ΔU = qΔφ, поэтому разность потенциалов позволяет решать задачи без прямого вычисления работы.

Дальше эти идеи применяются в законе сохранения энергии. По изменению потенциальной энергии можно определить изменение кинетической энергии и скорость заряженной частицы, движущейся в электрическом поле.

Что запомнить

• Изменение потенциальной энергии равно работе внешних сил и противоположно работе электрического поля.
• В однородном поле при перемещении вдоль поля ΔU = −qEd.
• При движении под углом учитывают проекцию перемещения: ΔU = −qEd cos α.
• Нулевой уровень потенциальной энергии выбирают условно.
• Энергия взаимодействия двух точечных зарядов при нулевой энергии на бесконечности равна U = kq₁q₂/r.
• Одноимённые заряды имеют положительную энергию взаимодействия, разноимённые — отрицательную.
• Чем больше расстояние между разноимёнными зарядами, тем ближе их энергия взаимодействия к нулю.