§ 2.17. Расчет сложных электрических цепей

Определения и обозначения

Сложная электрическая цепь — разветвлённая цепь, в которой токи на отдельных участках связаны друг с другом. Её нельзя всегда свести только к последовательному или параллельному соединению. Для расчёта такую схему разбирают на более простые элементы.

Ветвь электрической цепи — участок между двумя соседними узлами, по которому проходит один и тот же ток. В ветви могут находиться сопротивления и источники. Выделение ветвей помогает понять, сколько неизвестных токов нужно найти.

Узел электрической цепи — точка соединения нескольких ветвей, в которой ток разделяется или складывается. Все точки, соединённые идеальным проводником без элементов между ними, относят к одному узлу. Для узлов записывают первое правило Кирхгофа.

Контур электрической цепи — замкнутый путь, состоящий из нескольких ветвей. При обходе контура учитывают падения напряжения на сопротивлениях и ЭДС источников. Контуры нужны для записи уравнений сохранения энергии.

Как это устроено

В простой цепи ток можно найти непосредственно по закону Ома, но в разветвлённой схеме токи влияют друг на друга через общие узлы и элементы. Поэтому сначала схему мысленно разделяют на ветви, узлы и контуры. В каждой ветви обозначают неизвестный ток и временно выбирают его направление: это превращает рисунок цепи в набор величин, с которыми можно работать алгебраически.

Первое правило Кирхгофа связано с сохранением электрического заряда. Заряд не может постоянно накапливаться в обычном узле, поэтому за один и тот же промежуток времени в узел входит столько же заряда, сколько выходит из него. Значит, сумма входящих токов равна сумме выходящих, например I₁ + I₂ = I₃.

Второе правило Кирхгофа выражает сохранение энергии. Если мысленно обойти замкнутый контур и вернуться в исходную точку, общий энергетический баланс должен быть нулевым. Поэтому алгебраическая сумма ЭДС и падений напряжения равна нулю: Σℰ − ΣIR = 0, если знаки выбраны по направлению обхода.

Сначала записывают независимые уравнения для узлов, затем выбирают независимые контуры и составляют для них уравнения. Для сопротивления используют величину IR, а знак определяется тем, совпадает ли направление обхода с направлением тока. Для источника ЭДС знак положителен при переходе от «−» к «+» и отрицателен при обратном переходе.

Правила и этапы расчёта сложной электрической цепи

Пользуйтесь таблицей как последовательной памяткой: сначала найдите ветви и узлы, затем задайте токи и выберите контуры. После этого запишите независимые уравнения, решите систему и проверьте полученные значения.

Разбор задач

Две параллельные ветви

Условие. Общий ток I = 6 А разделяется между двумя параллельными ветвями с сопротивлениями R₁ = 2 Ом и R₂ = 4 Ом. Найдите токи в ветвях.

1. В узле токи складываются, поэтому I = I₁ + I₂. Для параллельных ветвей напряжение одинаково: U = I₁R₁ = I₂R₂.
2. Из равенства напряжений получаем I₁/I₂ = R₂/R₁ = 4/2 = 2. Значит, I₁ = 2I₂.
3. Подставим это в уравнение узла: 6 = 2I₂ + I₂, откуда I₂ = 2 А, а I₁ = 4 А.

Ответ: в ветви с сопротивлением 2 Ом течёт 4 А, в ветви с сопротивлением 4 Ом — 2 А. Больший ток идёт по ветви с меньшим сопротивлением.

Цепь с двумя источниками

Условие. В многоконтурной цепи есть два источника и несколько сопротивлений. Требуется найти токи, используя два независимых контура.

1. Обозначьте ток в каждой ветви и выберите направления произвольно. Для общего участка двух контуров используйте один ток, а не два независимых тока.
2. Для каждого узла запишите первое правило Кирхгофа. Затем для двух контуров запишите второе правило: сумма произведений IR с учётом знаков равна алгебраической сумме ЭДС.
3. Решите полученную систему. Если ток окажется отрицательным, сохраните модуль как значение тока и укажите, что его действительное направление противоположно выбранному.

Ответ: искомые токи определяются совместным решением узлового и двух контурных уравнений, а не отдельным применением закона Ома к каждому сопротивлению.

Источники направлены навстречу

Условие. В разветвлённой цепи несколько контуров и два источника, включённых навстречу. Нужно найти токи и напряжение на одном сопротивлении.

1. Выберите независимые контуры и направление обхода каждого. В каждом сопротивлении запишите падение напряжения IR, а для источника определите знак по переходу от «−» к «+» или наоборот.
2. Составьте узловые уравнения и уравнения контуров. После решения системы напряжение на нужном сопротивлении найдите по формуле U = IR, используя ток этой ветви.
3. Проверьте результат: токи должны удовлетворять узловым уравнениям, а сумма мощностей, отданных источниками, должна совпадать с мощностью, выделившейся на сопротивлениях.

Ответ: знак каждой ЭДС определяется направлением обхода, а напряжение на сопротивлении равно произведению его сопротивления на найденный ток. Энергетический баланс помогает обнаружить ошибку в знаках.

Типичные ошибки

Записывают уравнение для каждого узла и получают избыточную систему. Так происходит потому, что одно узловое уравнение часто следует из остальных: сумма всех токов в цепи автоматически даёт ноль. Оставьте только независимые уравнения и сравните их число с числом неизвестных.

Путают знаки токов и ЭДС при обходе контура. Причина — направление обхода не зафиксировано заранее. Нарисуйте стрелки, пройдите контур последовательно и для каждого элемента определите знак отдельно.

Считают отрицательный ток ошибкой и переписывают систему. На самом деле отрицательный результат только меняет выбранное направление тока. Проверьте узловые уравнения, а затем запишите направление противоположно первоначальному.

Неверно выделяют ветви, узлы или контуры. Из-за этого в уравнение попадают не те токи. Проверяйте, что ветвь ограничена двумя узлами, а контур действительно замкнут и не повторяет уже выбранный независимый контур.

Связь с другими темами

Для расчёта цепей нужны закон Ома для участка и полной цепи, правила последовательного и параллельного соединения проводников. Также полезно понимать работу и мощность тока: они позволяют проверить энергетический баланс после решения системы.

Метод Кирхгофа особенно важен для мостовых схем, многоконтурных цепей, электрических сетей и сложных цепей постоянного тока. Он расширяет возможности закона Ома, когда простого сведения сопротивлений недостаточно.

Что запомнить

• Ветвь соединяет два узла, а контур образует замкнутый путь в цепи.
• В узле сумма токов, входящих в него, равна сумме токов, выходящих из него.
• Алгебраическая сумма изменений напряжения при обходе замкнутого контура равна нулю.
• Для расчёта нужно заранее выбрать направления токов и направления обхода контуров.
• Число независимых уравнений должно быть достаточным для определения всех неизвестных токов.
• Отрицательное значение тока означает, что реальное направление тока противоположно выбранному.