§ 2.16. Работа и мощность тока на участке цепи, содержащем ЭДС

Определения и обозначения

Работа тока — энергия, переданная электрическим полем заряду на участке цепи. Она определяется формулой A = qU = IUt, где q — заряд, U — напряжение, I — сила тока, t — время; величина A показывает, сколько энергии получил или отдал участок.

Мощность тока — работа тока за единицу времени: P = A/t = UI. По мощности можно сравнить, насколько быстро участок цепи передаёт или преобразует энергию.

Электродвижущая сила, или ЭДС, ε — величина, характеризующая работу сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда внутри источника. ЭДС измеряется в вольтах и показывает энергетические возможности источника.

Сторонние силы — силы неэлектрического происхождения, которые перемещают заряды внутри источника и поддерживают ток в замкнутой цепи. Например, в батарее такую работу обеспечивают химические процессы, разделяющие заряды.

Как это устроено

Заряд q, проходя участок с напряжением U, получает энергию qU: напряжение показывает работу электрического поля на единичный заряд. При постоянном токе за время t через участок проходит заряд q = It. Поэтому работа выражается как A = IUt, и эта формула подходит для любого участка, если учитывать знак напряжения.

На участке с сопротивлением R и ЭДС появляется дополнительный вклад источника. Если ЭДС направлена по току, она помогает движению зарядов внутри источника, поэтому напряжение участка при выбранном направлении отсчёта равно U = IR − ε. Слагаемое IR связано с сопротивлением, а ε уменьшает результирующее напряжение, потому что источник компенсирует часть действия электрического поля.

Чтобы получить мощность, работу A = IUt делят на время t. Получается P = IU. Такой вывод объясняет, почему для участка с ЭДС нельзя автоматически заменять мощность выражением I²R: произведение UI учитывает и сопротивление, и действие источника.

Мощность участка может быть отрицательной, если выбранные направления показывают отдачу энергии участком. Например, при зарядке аккумулятора электрическое поле внутри него совершает отрицательную работу, а сторонние силы получают энергию от внешней цепи и запасают её в химической форме. Знак не означает исчезновение энергии, а показывает направление её передачи.

В полной цепи источник создаёт мощность εI. При токе I она распределяется между внешним сопротивлением R, где выделяется мощность I²R, и внутренним сопротивлением r, где теряется мощность I²r. Поэтому выполняется энергетический баланс εI = I²R + I²r.

Работа и мощность тока на участках цепи

Сначала определите, есть ли на рассматриваемом участке источник ЭДС и как он направлен относительно тока. Затем выберите подходящую формулу напряжения, а работу и мощность вычисляйте через U. Знак результата помогает понять, участок потребляет энергию или отдаёт её.

Разбор задач

Задача 1

На участке сопротивлением 4 Ом действует ЭДС 2 В, ток равен 3 А и направлен по ЭДС. Найдём напряжение, работу и мощность за 10 с. ЭДС направлена по току, поэтому её нужно вычесть из падения напряжения на сопротивлении.

1. U = IR − ε = 3 А · 4 Ом − 2 В = 10 В.
2. A = IUt = 3 А · 10 В · 10 с = 300 Дж.
3. P = UI = 10 В · 3 А = 30 Вт.

Ответ: U = 10 В, A = 300 Дж, P = 30 Вт. Положительные значения показывают, что при выбранном направлении участок передаёт электрическому полю энергию.

Задача 2

Источник с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом соединён с внешним сопротивлением 5 Ом. Сначала найдём ток, затем отдельно вычислим мощность источника, внутренние потери и мощность внешней цепи.

1. I = ε/(R + r) = 12 В/(5 Ом + 1 Ом) = 2 А.
2. Pист = εI = 12 В · 2 А = 24 Вт, а Pвн = I²r = 2² · 1 = 4 Вт.
3. Pвнеш = I²R = 2² · 5 = 20 Вт; проверка: 24 Вт = 4 Вт + 20 Вт.

Ответ: мощность источника 24 Вт, внутренние тепловые потери 4 Вт, мощность внешней цепи 20 Вт. Равенство подтверждает сохранение энергии.

Задача 3

Источник с ЭДС 24 В и внутренним сопротивлением 2 Ом подключён к сопротивлению 10 Ом. Требуется найти ток, напряжение на внешнем участке, работу внешнего тока за 5 мин и энергию, переданную источником.

1. I = ε/(R + r) = 24/(10 + 2) = 2 А, Uвнеш = IR = 2 · 10 = 20 В.
2. Время t = 5 мин = 300 с, поэтому Aвнеш = UIt = 20 · 2 · 300 = 12 000 Дж.
3. Eист = εIt = 24 · 2 · 300 = 14 400 Дж. Внутри источника выделится I²rt = 2² · 2 · 300 = 2 400 Дж, и 12 000 + 2 400 = 14 400 Дж.

Ответ: I = 2 А, Uвнеш = 20 В, работа во внешней цепи 12 000 Дж, энергия источника 14 400 Дж. Последняя проверка показывает баланс энергии.

Типичные ошибки

Формула U = IR на участке с ЭДС. Её механически переносят с однородного участка, забывая источник. Проверьте наличие ЭДС и её направление, затем используйте U = IR − ε или соответствующую знаковую форму.

Мощность считают только как I²R. Это выражение описывает резистивную часть, где энергия превращается в тепло. Для всего участка с ЭДС сначала найдите напряжение и примените P = UI.

Не учитывают знак работы и мощности источника. Из-за этого отдачу энергии принимают за её потребление. Проверьте направление тока и напряжения: знак результата показывает направление энергетического обмена.

Путают ЭДС с напряжением на клеммах. ЭДС характеризует работу сторонних сил внутри источника, а клеммное напряжение учитывает внутреннее сопротивление. При отдаче тока во внешнюю цепь проверьте соотношение U = ε − Ir.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны сила тока, напряжение, сопротивление, закон Ома для участка цепи и работа постоянного тока. Полученные формулы подготавливают к закону Ома для полной цепи, расчёту цепей с источниками и проверке энергетического баланса. На практике они применяются при выборе источников питания, анализе аккумуляторов, электрических приборов и потерь энергии в проводниках.

Что запомнить

• Работа тока на участке определяется формулой A = IUt.
• Мощность тока равна P = UI.
• На участке с ЭДС напряжение зависит не только от IR, но и от ЭДС.
• При направлении ЭДС по току U = IR − ε.
• Мощность источника, отдаваемая цепи, равна εI.
• Часть энергии источника расходуется на нагрев его внутреннего сопротивления.
• Знак работы и мощности показывает, получает участок энергию или отдаёт её.