§ 2.15. Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС . .

Определения и обозначения

Неоднородный участок цепи — участок, содержащий источник тока или другой элемент, внутри которого действуют сторонние силы. Они перемещают заряды не только под влиянием электрического поля, поэтому обычного описания через одну разность потенциалов недостаточно. Понятие нужно, чтобы отличать такой участок от проводника, резистора или соединительного провода.

Электродвижущая сила (ЭДС) — работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда внутри источника: ε = Aст/q. ЭДС измеряется в вольтах, как и напряжение, но описывает действие не электрического поля, а внутренних сил источника. По её величине оценивают, какую энергию источник передаёт каждому кулону заряда.

Напряжение на участке — разность потенциалов между его концами, рассматриваемая с учётом выбранного направления обхода. Для направления от A к B обычно используют обозначение U_AB = φ_A − φ_B. Это позволяет заранее определить знак величины и не смешать напряжение с ЭДС.

Закон Ома для участка с ЭДС утверждает: сила тока равна алгебраической сумме напряжения и ЭДС, делённой на сопротивление участка: I = (U_AB + Σε)/R. Алгебраической сумма называется потому, что каждый источник записывают со своим знаком. Формула показывает, что источники могут как поддерживать ток, так и препятствовать ему.

Как это устроено

Участок называют неоднородным, потому что внутри источника на заряд действуют сторонние силы: например, химические силы в батарейке. Электрическое поле обычно стремится переместить положительный заряд от большего потенциала к меньшему, а сторонние силы внутри источника поднимают его к положительному полюсу. Поэтому источник способен поддерживать ток в замкнутой цепи, компенсируя потери энергии в сопротивлениях.

Сначала выбирают предполагаемое направление тока, например от A к B, и то же направление обхода участка. Затем смотрят, как изменяется потенциал при таком обходе, и определяют знаки всех величин. Если полученное значение I окажется отрицательным, реальный ток течёт в обратную сторону; это не ошибка, а результат неудачно выбранного направления.

Внутри источника переход от отрицательного полюса к положительному означает движение против обычного падения потенциала. Сторонние силы при этом совершают положительную работу над положительным зарядом, поэтому ЭДС берётся со знаком плюс. При переходе от положительного полюса к отрицательному сторонние силы действуют против выбранного перемещения, и соответствующая ЭДС имеет знак минус.

Пусть участок содержит сопротивление R, напряжение U_AB и одну ЭДС ε, направленную согласно обходу. Работа электрического поля на единичный заряд определяется напряжением, а работа сторонних сил — ЭДС; вместе они создают суммарную причину движения зарядов. Приравнивая эту работу потерям энергии на сопротивлении, получают I·R = U_AB + ε, откуда I = (U_AB + ε)/R.

Если источников несколько, их ЭДС нельзя складывать без учёта полярности. Сначала для каждого источника определяют, совпадает ли переход внутри него с направлением от − к +, а затем записывают сумму с плюсами и минусами: Σε = ε₁ + ε₂ − ε₃. Внутренние сопротивления источников при последовательном соединении входят в общее сопротивление участка, поэтому R_общ = R + r₁ + r₂.

Сравнение закона Ома для однородного и неоднородного участков

Сначала определите, есть ли внутри рассматриваемого участка источник, а затем выберите направление обхода. В строке с формулой проверьте знаки всех ЭДС, а при расчёте полной цепи добавьте внутренние сопротивления. Таблица помогает увидеть, что обычный закон Ома является частным случаем закона для неоднородного участка.

Разбор задач

Задача 1

Условие: сопротивление участка равно 6 Ом, напряжение — 12 В, ЭДС источника — 3 В. Источник направлен по движению тока. Требуется найти силу тока.

1. Выбираем направление тока и видим, что источник ему помогает, поэтому ε = +3 В.
2. Подставляем данные в закон Ома: I = (12 + 3)/6.
3. Получаем I = 2,5 А.

Ответ: сила тока равна 2,5 А. Если бы источник был включён навстречу, в числителе стояло бы 12 − 3.

Задача 2

Условие: на участке сопротивлением 10 Ом течёт ток 0,4 А, а разность потенциалов равна 2 В. Нужно определить ЭДС и её направление.

1. Выражаем ЭДС из I = (U + ε)/R: ε = IR − U.
2. Находим ε = 0,4 · 10 − 2 = 2 В.
3. Результат положительный, значит, ЭДС направлена согласно выбранному обходу и помогает току.

Ответ: ЭДС равна 2 В и направлена по выбранному направлению тока.

Задача 3

Условие: источник имеет ЭДС 12 В и внутреннее сопротивление 1 Ом; внешний резистор равен 5 Ом. Требуются ток и напряжение на резисторе.

1. Рассматриваем всю замкнутую цепь и складываем сопротивления: R_общ = 5 + 1 = 6 Ом.
2. Ток равен I = ε/(R + r) = 12/6 = 2 А.
3. На внешнем резисторе напряжение U = IR = 2 · 5 = 10 В.

Ответ: I = 2 А, напряжение на внешнем резисторе — 10 В. Оставшиеся 2 В падают на внутреннем сопротивлении источника.

Типичные ошибки

Подстановка ЭДС в формулу I = U/R. Так делают, когда источник ошибочно считают просто напряжением на концах участка. Проверьте, есть ли внутри участка сторонние силы: если есть, используйте I = (U + Σε)/R.

Арифметическое сложение всех ЭДС. Источники могут быть включены встречно, поэтому одинаковые числа не всегда дают сумму. Нарисуйте направление обхода и поставьте знак каждой ЭДС до вычислений.

Отождествление напряжения на внешнем участке с ЭДС. Часть энергии теряется внутри источника, поэтому напряжение на зажимах при токе обычно меньше ε. Проверьте соотношение U = ε − Ir для разряжающегося источника.

Игнорирование внутреннего сопротивления. Если взять только внешнее R, сопротивление цепи получится заниженным, а ток — завышенным. В полной цепи всегда проверяйте, нужно ли прибавить r к внешнему сопротивлению.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны закон Ома для однородного участка, сила тока, напряжение, сопротивление и разность потенциалов. Закон Ома для участка с ЭДС позволяет перейти к расчёту полной цепи, где учитывается внутреннее сопротивление источника. В дальнейшем тот же подход используется для цепей с несколькими источниками, разветвлениями и при применении правил Кирхгофа.

Что запомнить

• Неоднородный участок содержит источник ЭДС или элемент, в котором действуют сторонние силы.
• ЭДС равна работе сторонних сил по переносу единичного положительного заряда.
• Для участка с ЭДС применяют формулу I = (U + Σε)/R.
• Знаки напряжений и ЭДС зависят от выбранного направления обхода.
• ЭДС источников, действующих согласно, складываются, а действующих навстречу — вычитаются.
• Для полной цепи с внутренним сопротивлением действует формула I = ε/(R + r).
• Напряжение внешней цепи равно не ЭДС, а ЭДС минус падение напряжения внутри источника.