§ 3.3. Почему справедлив закон Ома?

Определения и обозначения

Дрейфовая скорость — средняя направленная скорость свободных носителей заряда под действием электрического поля. Она возникает поверх хаотического теплового движения электронов и обычно намного меньше их мгновенной скорости. Эта величина помогает описать, как именно поле создаёт ток.

Плотность тока — сила тока, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения проводника. Для носителей концентрации n, заряда q и дрейфовой скорости vд её модуль равен j = |q|nvд. Связь нужна, чтобы перейти от движения отдельных носителей к току всего проводника: I = jS.

Удельная проводимость σ — характеристика вещества, показывающая, насколько хорошо оно проводит электрический ток. Чем больше σ, тем большую плотность тока создаёт данное электрическое поле. Она зависит от материала и физических условий, например температуры.

Закон Ома для участка цепи утверждает, что сила тока прямо пропорциональна напряжению, если свойства проводника и его температура неизменны: I = U/R. Здесь R — сопротивление участка. Закон позволяет рассчитывать цепи, но его применение требует проверить, что сопротивление не меняется в процессе опыта.

Как это устроено

В металле свободные электроны постоянно движутся из-за тепловой энергии. Их направления хаотичны: в среднем столько электронов движется в одну сторону, сколько в другую. Поэтому без внешнего электрического поля средняя направленная скорость равна нулю и суммарного переноса заряда через сечение нет.

При появлении электрического поля на электроны действует сила, поскольку у них есть заряд. Между столкновениями с ионами кристаллической решётки электроны ускоряются, но столкновения снова меняют направление их движения. В результате они не летят сквозь металл по прямым линиям, а получают небольшое общее смещение, направленное против поля.

Почему это смещение зависит от напряжённости поля? За время между столкновениями поле сообщает каждому электрону приращение скорости, пропорциональное напряжённости. В установившемся режиме столкновения не дают скорости накапливаться безгранично, а среднее время свободного пробега при неизменных условиях почти постоянно. Поэтому и средняя дрейфовая скорость пропорциональна напряжённости поля.

Плотность тока связана с дрейфовой скоростью формулой j = |q|nvд, где n — концентрация носителей, а |q| — модуль их заряда. Если концентрация и свойства материала постоянны, то пропорциональность vд напряжённости E означает, что j тоже пропорциональна E. Коэффициент пропорциональности называют удельной проводимостью σ, поэтому j = σE.

Для однородного проводника длиной l поле связано с напряжением соотношением E = U/l, а ток равен I = jS. Подстановка этих связей даёт I = σSU/l, то есть I = U/R, где R = l/(σS). Так микроскопическое движение электронов приводит к закону Ома; линейность сохраняется, пока не меняются температура, концентрация носителей и механизм проводимости.

Переход от движения носителей к закону Ома

Читайте таблицу сверху вниз: каждый этап переводит описание от отдельного носителя к свойствам проводника и затем к току в цепи. Символ μ обозначает подвижность носителей, а ρ — удельное сопротивление; σ и ρ связаны соотношением σ = 1/ρ. Если условия меняются и R перестаёт быть постоянным, переход к линейному закону Ома уже не гарантирован.

Разбор задач

Ток через сечение металлического проводника

Условие. Концентрация свободных электронов равна n, площадь сечения проводника — S, дрейфовая скорость электронов — vд. Найти силу тока. Числовые значения не заданы, поэтому ответ будет выражен через эти величины.

1. За единицу времени через сечение проходит заряд электронов, находящихся в слое толщиной vд за это время. Объём такого слоя за одну секунду равен Svд.
2. Число электронов в этом объёме равно nSvд, а модуль перенесённого заряда — |q|nSvд. По определению этот заряд за секунду и есть сила тока.

Ответ: I = |q|nSvд. Для электронов |q| равен модулю элементарного заряда; направление их движения при этом противоположно условному направлению тока.

Ток по длине, сечению и напряжению

Условие. Для проводника длиной l и площадью поперечного сечения S известны удельное сопротивление ρ и напряжение U на концах. Требуется найти силу тока. Предполагается, что температура и свойства материала не меняются.

1. Сначала определяем сопротивление: более длинному проводнику ток пройти труднее, а увеличение площади сечения облегчает его прохождение. Поэтому R = ρl/S.
2. Подставляем найденное сопротивление в закон Ома I = U/R. Получается I = US/(ρl); так можно проверить, что при большем напряжении или сечении ток растёт, а при большей длине или ρ уменьшается.

Ответ: I = US/(ρl). Если подставляются числовые данные, нужно привести все величины к согласованным единицам СИ.

Нагрев металлической спирали

Условие. Объяснить, почему при нагревании металлической спирали её сопротивление увеличивается, а ток при прежнем напряжении уменьшается. Здесь важно рассматривать металлический проводник и сравнивать состояния при разных температурах.

1. При нагревании ионы кристаллической решётки сильнее колеблются около своих положений. Электроны чаще сталкиваются с ними, а среднее время свободного движения между столкновениями становится меньше.
2. При прежнем поле электроны получают меньшее среднее направленное ускорение, поэтому дрейфовая скорость и ток уменьшаются. Из соотношения R = U/I следует, что при неизменном U уменьшению I соответствует увеличение R.

Ответ: нагрев усиливает рассеяние электронов решёткой, поэтому сопротивление спирали растёт, а ток при том же напряжении падает.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что электроны движутся через проводник с постоянной направленной скоростью и не сталкиваются. Такое представление возникает из-за упрощённых рисунков движения зарядов. В действительности есть частые столкновения, а дрейф — лишь малая средняя составляющая; проверяйте, различаете ли вы хаотическое движение и перенос заряда.

Не следует путать скорость распространения электрического поля с дрейфовой скоростью электронов. Электрическое воздействие устанавливается вдоль цепи быстро, хотя сами носители дрейфуют медленно. Для проверки спросите себя: речь идёт о распространении воздействия или о перемещении вещества-носителя?

Нельзя применять закон Ома, считая сопротивление неизменным при любом напряжении. Эту ошибку допускают, забывая, что ток может нагреть проводник и изменить его свойства. Проверьте, остаётся ли температура постоянной; если нет, R может зависеть от условий, а график I(U) — перестать быть прямой.

Направление электронов в металле противоположно условному направлению тока. Путаница возникает из-за того, что направление тока определено для движения положительного заряда. Проверяйте знак носителя: отрицательные электроны дрейфуют против направления поля, тогда как условный ток направлен по полю.

Связь с другими темами

Для понимания этого объяснения нужны понятия силы тока, напряжения, сопротивления, электрического поля и заряда электрона, а также закон Ома для участка цепи. Дальше микроскопическая картина помогает сравнивать материалы по удельному сопротивлению и рассчитывать проводники разных размеров. Она также объясняет температурную зависимость сопротивления и готовит к изучению проводимости металлов и полупроводников. Не все элементы подчиняются линейной зависимости: у неомических элементов связь тока и напряжения может быть иной.

Что запомнить

• Без электрического поля тепловое движение носителей не создаёт результирующего тока.
• Электрическое поле вызывает направленное дрейфовое движение носителей.
• При неизменных условиях дрейфовая скорость пропорциональна напряжённости поля.
• Плотность тока в проводнике описывается соотношением j = σE.
• Закон Ома для однородного участка имеет вид I = U/R.
• Сопротивление зависит от материала, размеров проводника и температуры.
• Закон Ома справедлив только при неизменных физических условиях и не для всех проводников.