"Физика. Электродинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Закон Био—Савара—Лапласа описывает магнитное поле, создаваемое малым участком проводника с током. Он позволяет рассчитать вклад этого участка в магнитную индукцию в выбранной точке, а затем сложить вклады и получить поле проводника целиком. Величина поля зависит от силы тока, длины участка, расстояния до точки и угла между участком и направлением на точку. Закон применяют для проводов, витков и катушек разной формы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Закон Био—Савара—Лапласа — правило для расчёта вклада малого участка проводника с током в магнитную индукцию в выбранной точке. Оно связывает этот вклад с током, размером участка, расстоянием до точки и взаимным расположением участка и точки. Закон нужен, чтобы перейти от простых проводников к полям проводников сложной формы.
Элемент тока — малый участок проводника, обозначаемый вектором I dℓ. Здесь I — сила тока, а dℓ — вектор длины участка, направленный вдоль тока. Такое обозначение объединяет величину тока, длину участка и направление, необходимые для расчёта его поля.
Магнитная индукция элемента тока — вектор dB, показывающий вклад этого элемента в поле в точке наблюдения. Он перпендикулярен и элементу тока, и линии от участка к точке. По направлению dB можно понять, как вклад участвует в результирующем поле.
Принцип суперпозиции магнитных полей гласит: результирующая магнитная индукция равна векторной сумме вкладов всех элементов тока. Это позволяет сначала рассчитать поле отдельных частей проводника, а затем объединить результаты. Направления вкладов при сложении нельзя игнорировать.
Величина вклада элемента тока определяется выражением dB = (μ₀/(4π)) · I dℓ sin α/r². Здесь r — расстояние от элемента до точки, а α — угол между элементом тока и направлением от элемента к точке. Поэтому увеличение тока или длины участка усиливает вклад, а удаление точки уменьшает его пропорционально квадрату расстояния. При α = 0 вклад равен нулю, а при α = 90° он максимален: это связано с тем, что поле создаёт поперечная составляющая тока относительно направления на точку.
В векторной форме закон записывают так: dB = (μ₀/(4π)) · (I dℓ × r)/r³, где r — вектор от элемента к точке, а знак × означает векторное произведение. Его модуль содержит sin α, поэтому векторная и скалярная формы описывают один и тот же закон. Коэффициент μ₀/(4π) — магнитная постоянная, делённая на 4π; в вакууме μ₀ = 4π · 10⁻⁷ Тл·м/А. Он задаёт связь между током и магнитным полем в системе СИ.
Направление dB перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы элемента тока и направления на точку, поскольку так устроено векторное произведение. Чтобы определить его, направьте пальцы правой руки сначала вдоль I dℓ, затем согните их к r; большой палец покажет направление dB. Если развернуть ток, направление вклада изменится на противоположное. Это правило позволяет учитывать направление тока, а не только величину поля.
У проводника конечной формы каждый малый участок создаёт свой вклад, и эти вклады обычно направлены по-разному. Проводник мысленно делят на элементы, для каждого записывают закон Био—Савара—Лапласа, а затем складывают вклады интегрированием по всей длине. Интеграл здесь означает непрерывную сумму бесконечно малых вкладов. Если геометрия обладает симметрией, некоторые составляющие взаимно уничтожаются, что упрощает расчёт.
Для прямого провода интегрирование по длине даёт поле бесконечно длинного проводника B = μ₀I/(2πr), где r — расстояние от провода. Для конечного отрезка длины L в точке на перпендикуляре через его середину получается B = μ₀I L/[4πr√(r² + (L/2)²)]. Для кругового витка радиуса R поле в центре равно μ₀I/(2R), а на оси на расстоянии x — μ₀IR²/[2(R² + x²)^(3/2)]. В последнем случае поперечные составляющие от симметричных элементов компенсируются, а составляющие вдоль оси складываются.
| Источник поля и точка наблюдения | Магнитная индукция | Направление поля |
|---|---|---|
| Бесконечно длинный прямой проводник; точка на расстоянии r | B = μ₀I/(2πr) | По касательной к окружности вокруг провода; правило правого винта |
| Прямой отрезок длины L; точка на перпендикуляре через середину | B = μ₀I L/[4πr√(r² + (L/2)²)] | Перпендикулярно плоскости провода и точки; по правилу правого винта |
| Круговой виток радиуса R; центр витка | B = μ₀I/(2R) | Вдоль оси витка; правило правого винта |
| Круговой виток радиуса R; точка на оси на расстоянии x от центра | B = μ₀IR²/[2(R² + x²)^(3/2)] | Вдоль оси витка; направление задаёт правило правого винта |
Сначала найдите в таблице геометрию источника и положение точки, затем подставьте величины в соответствующую формулу. Обозначение r в строках для прямого проводника — расстояние от провода до точки; x для витка — расстояние по оси от его центра. Направление определяйте отдельно по направлению тока: формула для величины поля его не заменяет.
Прямой участок проводника длиной 2 см несёт ток 3 А. Точка находится на расстоянии 5 см от его середины, а направление на точку перпендикулярно участку. Нужно найти вклад участка в магнитную индукцию. Поскольку угол равен 90°, синус угла равен единице.
Ответ: вклад участка составляет 2,4 · 10⁻⁶ Тл. Расчёт по формуле для малого элемента является приближённым, если длина участка не мала по сравнению с расстоянием до точки. Здесь найден именно вклад указанного участка, а не обязательно поле всего проводника.
Найдём магнитную индукцию на расстоянии 4 см от бесконечно длинного прямого провода с током 8 А. Здесь можно сразу применить формулу B = μ₀I/(2πr), полученную суммированием вкладов по всему проводу. Перевод расстояния в метры необходим, чтобы ответ получился в единицах СИ.
Ответ: B = 4 · 10⁻⁵ Тл. Формула применима, потому что в условии проводник считается бесконечно длинным. Для реального конечного провода нужно проверить, достаточно ли он длинен по сравнению с расстоянием до точки.
Круговой виток радиуса 10 см несёт ток 5 А. Точка находится на оси витка в 12 см от центра. Найдём магнитную индукцию и её направление. Симметрия позволяет не суммировать поперечные составляющие поля каждого участка: у противоположных элементов они взаимно компенсируются.
Ответ: B ≈ 1,0 · 10⁻⁵ Тл; поле направлено вдоль оси витка в сторону, которую показывает правило правого винта. Если изменить направление тока, величина поля останется прежней, а направление изменится на противоположное. Поэтому направление тока нужно учитывать даже после вычисления модуля индукции.
Считать, что dB направлен вдоль тока. Так можно ошибиться, если перенести на магнитное поле направление движения зарядов, не учитывая геометрию векторного произведения. Проверьте себя: dB должен быть перпендикулярен и элементу тока, и линии от элемента к точке.
Подставлять в синус угол между проводником и магнитным полем. Это смешивает искомое направление поля с направлением, заданным в условии. Угол α в законе — между элементом тока и направлением от него к точке; определите его по этим двум направлениям до подстановки.
Складывать вклады разных участков как обычные числа. Так поступают, когда учитывают только модули и забывают, что магнитная индукция — вектор. Нарисуйте направления вкладов и проверьте, какие составляющие складываются, а какие компенсируются.
Считать формулу для бесконечного провода точной для любого отрезка. У конечного проводника поле зависит от положения концов, поэтому подмена геометрии меняет ответ. Проверьте условие: формула B = μ₀I/(2πr) подходит бесконечному проводу или как приближение, если длина провода значительно больше r.
Для работы с законом нужны понятие магнитной индукции, направление тока, векторное произведение и правило правого винта. Если эти понятия знакомы, можно определить и величину вклада, и его направление. Закон связывает описание поля отдельных участков с общим принципом суперпозиции.
Этот закон используют при расчёте магнитных полей проводников сложной формы, катушек и рамок с током. В таких задачах находят вклад элементов, используют симметрию и складывают результаты интегрированием. Полученные поля помогают описывать действие электромагнитов и устройств с током.
Закон Био—Савара—Лапласа задаёт вклад малого элемента тока в магнитную индукцию.
Величина вклада пропорциональна силе тока и длине элемента и обратно пропорциональна квадрату расстояния.
В скалярной формуле учитывается синус угла между элементом тока и направлением на точку.
Направление dB определяют по векторному произведению или правилу правого винта.
Поле всего проводника находят суммированием вкладов всех его элементов.
Вклады магнитной индукции складываются векторно.
Что именно называют элементом тока?
Элемент тока — это очень малый участок проводника вместе с током, направленным вдоль него. Его обозначают вектором I dℓ: длина соответствует малому участку, а направление совпадает с током.
Как определить направление магнитной индукции от элемента тока?
Направление задаёт векторное произведение I dℓ × r, где r направлен от элемента к точке наблюдения. Примените правило правого винта: согните пальцы от первого вектора ко второму, а большой палец покажет направление dB.
Почему в законе появляется синус угла?
Магнитное поле создаёт составляющая элемента тока, перпендикулярная направлению на точку. Её длина пропорциональна sin α, поэтому вклад равен нулю при расположении участка вдоль этого направления и максимален при прямом угле.
Как перейти от поля малого участка к полю всего проводника?
Проводник мысленно делят на малые элементы тока и находят вклад каждого в выбранной точке. Затем складывают эти вклады как векторы; для непрерывного проводника сумма записывается интегралом.
Когда можно использовать формулу поля бесконечно длинного прямого провода?
Формула B = μ₀I/(2πr) относится к бесконечному прямому проводу. Для конечного провода она служит приближением, если его длина значительно больше расстояния r до точки и точка не находится рядом с концами.
§ 4.5. Закон Био—Савара—Лапласа
