§ 19. Движение планет. Искусственные спутники

Определения и обозначения

Орбита — траектория движения планеты или спутника под действием силы тяготения. Она может иметь форму эллипса или окружности. Это понятие нужно, чтобы описывать путь небесного тела и рассчитывать его скорость и период.

Искусственный спутник Земли — созданное человеком тело, движущееся вокруг Земли по орбите. К спутникам относятся аппараты связи, навигации, наблюдения и научные станции. По их орбитам определяют область работы и время обращения.

Первая космическая скорость — минимальная скорость, необходимая для выхода тела на круговую орбиту у поверхности Земли. Она равна примерно 7,9 км/с без учёта сопротивления воздуха. Эта величина показывает, насколько быстро нужно двигаться горизонтально, чтобы не упасть на Землю.

Геостационарный спутник — спутник, обращающийся по экваториальной орбите с периодом, равным периоду вращения Земли. Поэтому он всё время находится над одной и той же точкой экватора. Такие аппараты особенно удобны для связи, телевещания и постоянного наблюдения.

Как это устроено

Планета не летит по прямой, потому что Солнце притягивает её. Сила тяготения направлена к Солнцу и постоянно изменяет направление скорости, хотя в каждый момент тело стремится двигаться по касательной. Поэтому планета непрерывно отклоняется от прямого пути и остаётся на орбите.

Неравномерность движения следует из второго закона Кеплера: за равные промежутки времени радиус-вектор заметает равные площади. Когда планета близко к Солнцу, для заметания такой площади ей нужно пройти больший путь по дуге, поэтому скорость возрастает. На удалённом участке тот же закон выполняется при меньшей скорости.

Орбиты планет имеют форму эллипса из-за характера действия силы тяготения, которая убывает с увеличением расстояния и направлена к Солнцу. Решение уравнений движения при такой силе даёт эллиптические, круговые или другие возможные траектории. Для планет связанная орбита является эллипсом, а Солнце располагается в одном из его фокусов.

Тело, запущенное горизонтально, одновременно движется вперёд и падает под действием силы тяжести. Если скорость невелика, оно быстро достигнет Земли, а при подходящей скорости поверхность будет всё время «уходить» вниз из-за кривизны планеты. Так падение превращается в круговую орбиту, а при другом значении скорости — в эллиптическую.

Для круговой орбиты сила тяготения играет роль центростремительной силы: v = √(GM/r), где r — радиус орбиты. При увеличении r скорость уменьшается, потому что притяжение становится слабее. Одновременно растёт путь по окружности и уменьшается скорость, поэтому период T = 2π√(r³/GM) увеличивается.

Движение планет и искусственных спутников

В первом столбце указано, какое тело или правило рассматривается, а во втором — его краткое математическое описание. Третий столбец помогает понять причину явления, а четвёртый показывает практическое применение. При решении задачи сначала выберите подходящую строку, затем сопоставьте известные величины с формулой.

Разбор задач

1. Скорость Земли у перигелия и афелия

Условие. Сравнить скорости Земли в перигелии — ближайшей к Солнцу точке — и афелии — наиболее удалённой точке. Объяснить, где Земля движется быстрее.

1. Применим второй закон Кеплера: за равные времена радиус-вектор заметает равные площади.
2. У перигелия расстояние до Солнца меньше, поэтому для получения той же площади планета должна пройти больший участок орбиты.
3. Больший путь за одинаковое время означает большую скорость, значит, vперигелия > вафелия.

Ответ: Земля движется быстрее вблизи перигелия, а медленнее — вблизи афелия.

2. Радиус орбиты по периоду обращения

Условие. Найти радиус круговой орбиты спутника, если известны его период T и масса Земли M. Гравитационная постоянная обозначена G.

1. Приравняем силу тяготения и центростремительную силу: GMm/r² = mv²/r.
2. Скорость кругового движения выразим через период: v = 2πr/T.
3. Подставим её и сократим массу спутника: GM/r² = 4π²r/T².
4. После преобразования получаем r³ = GMT²/(4π²), поэтому r = ∛(GMT²/(4π²)).

Ответ: радиус орбиты вычисляют по формуле r = ∛(GMT²/(4π²)); подставлять нужно величины в согласованных единицах СИ.

3. Первая космическая скорость

Условие. Рассчитать первую космическую скорость у поверхности Земли и сравнить её со скоростью спутника на большей высоте. Радиус Земли R, масса Земли M.

1. Для круговой орбиты приравняем силы и получим v = √(GM/r).
2. У поверхности Земли r = R, поэтому v₁ = √(GM/R) ≈ 7,9 км/с.
3. На большей высоте радиус r становится больше, а выражение GM/r — меньше.

Ответ: первая космическая скорость у поверхности Земли примерно равна 7,9 км/с; на более высокой круговой орбите скорость спутника меньше.

Типичные ошибки

Считать, что спутник совсем не падает на Землю, — ошибка. Он непрерывно движется под действием силы тяжести вниз, но горизонтальная скорость и кривизна Земли не дают ему столкнуться с поверхностью. Проверка проста: мысленно уберите горизонтальную скорость — получится обычное падение.

Первую космическую скорость иногда путают со скоростью полного ухода от Земли. Первая нужна для круговой орбиты, а вторая — для преодоления земного притяжения и удаления в космос. Проверьте себя по цели движения: обращение вокруг Земли или уход из её поля тяготения.

Нельзя утверждать, что планета движется по эллипсу с постоянной скоростью. Второй закон Кеплера показывает: у Солнца скорость максимальна, а вдали от него минимальна. Если в рассуждении расстояние меняется, но скорость объявлена неизменной, значит, допущена ошибка.

Период вращения Земли сам по себе не делает спутник геостационарным. Нужны также круговая экваториальная орбита и совпадение направления движения с вращением Земли. Для проверки перечислите все условия, а не сравнивайте только периоды.

Связь с другими темами

Для понимания орбит нужны законы Ньютона, сила всемирного тяготения, центростремительное ускорение, скорость и период движения по окружности. Тема связывает физику с космонавтикой, спутниковой навигацией и законами сохранения. В астрономии эти знания помогают объяснять движение планет и комет, смену времён года и работу спутниковых систем.

Что запомнить

• Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам.
• Солнце находится в одном из фокусов орбиты планеты.
• Планета движется быстрее вблизи Солнца и медленнее вдали от него.
• Искусственный спутник удерживается на орбите силой тяготения.
• Для круговой орбиты сила тяготения является центростремительной силой.
• Чем выше круговая орбита, тем меньше орбитальная скорость и больше период обращения.
• Геостационарный спутник остаётся неподвижным относительно точки на экваторе.