§ 18. Силы всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Всемирное тяготение — взаимное притяжение всех тел, имеющих массу. Поэтому притягиваются не только Земля и человек, но и любые два предмета. Понятие нужно, чтобы описывать гравитационное взаимодействие как общее свойство материи.

Сила всемирного тяготения — сила взаимного притяжения двух тел; её обозначают F. Она направлена вдоль линии, соединяющей центры тел, навстречу друг другу. Это позволяет определить не только величину притяжения, но и направление действия силы.

Закон всемирного тяготения утверждает: сила притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Закон связывает массу, расстояние и силу одной формулой. С его помощью можно рассчитывать взаимодействие тел в самых разных ситуациях.

Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе всемирного тяготения; G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Её единица показывает, какие единицы нужно использовать при расчёте в СИ. Очень маленькое значение G объясняет, почему притяжение обычных предметов почти незаметно.

Как это устроено

Ньютон пришёл к идее всемирного тяготения, сравнивая падение тел на Землю с движением Луны. Луна не летит по прямой, потому что Земля непрерывно изменяет направление её скорости своим притяжением. Значит, падение тел и обращение Луны имеют одну причину — гравитационное взаимодействие.

При увеличении массы одного тела в несколько раз оно сильнее воздействует на другое, потому что в формуле сила умножается на эту массу. То же происходит при увеличении массы второго тела. Поэтому сила прямо пропорциональна каждой из масс: изменение одной массы во столько раз меняет силу, если остальные величины постоянны.

Расстояние влияет иначе: оно стоит в знаменателе и возведено в квадрат. При увеличении расстояния в 2 раза сила уменьшается в 2² = 4 раза, а при увеличении в 3 раза — в 9 раз. Квадратичная зависимость показывает, что удаление быстро ослабляет гравитационное взаимодействие.

Закон записывают так: F = Gm₁m₂/r². Здесь F — сила в ньютонах, m₁ и m₂ — массы тел в килограммах, r — расстояние между центрами в метрах, G — гравитационная постоянная. Силы действия и противодействия равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к разным телам, поэтому они не уничтожают друг друга.

Формулу можно применять к материальным точкам, то есть телам, размерами которых в данной задаче можно пренебречь. Её также используют для однородных шаров, если учитывать расстояние между их центрами. Для тел сложной формы или неоднородных тел простой расчёт может оказаться недостаточным.

Сила всемирного тяготения и её зависимости

Сначала найдите в условии массы и расстояние между центрами, затем выберите соответствующую строку таблицы. При изменении нескольких величин зависимости нужно перемножать. Все значения перед подстановкой следует привести к единицам СИ.

Разбор задач

Задача 1

Даны массы m₁ = 2 кг и m₂ = 3 кг, расстояние r = 0,5 м. Требуется найти силу притяжения, используя G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². В этой задаче тела можно считать материальными точками.

1. Записываем закон: F = Gm₁m₂/r².
2. Возводим расстояние в квадрат: r² = (0,5 м)² = 0,25 м².
3. Подставляем данные: F = 6,67·10⁻¹¹·2·3/0,25 Н.
4. Сначала вычисляем отношение масс к квадрату расстояния: 6/0,25 = 24. Получаем F = 1,6008·10⁻⁹ Н.

Ответ: сила взаимного притяжения равна примерно 1,6·10⁻⁹ Н.

Задача 2

Масса тела m = 1000 кг, масса Земли M = 6·10²⁴ кг, радиус Земли R = 6,4·10⁶ м. У поверхности Земли расстояние до её центра равно радиусу, поэтому применяем формулу F = GMm/R².

1. Подставляем значения: F = 6,67·10⁻¹¹·6·10²⁴·1000/(6,4·10⁶)².
2. Квадрат радиуса равен 4,096·10¹³ м², а произведение в числителе — 4,002·10¹⁷.
3. Делим числитель на знаменатель и получаем F ≈ 9,77·10³ Н.
4. Сравниваем с формулой силы тяжести: Fтяж = mg = 1000·9,8 = 9,8·10³ Н. Результаты практически совпадают.

Ответ: сила притяжения равна примерно 9,8·10³ Н, то есть силе тяжести этого тела.

Задача 3

Одну массу увеличивают в 3 раза, а расстояние уменьшают в 2 раза. Нужно определить изменение силы без вычисления её начального значения, поэтому используем только зависимости закона.

1. Увеличение одной массы в 3 раза увеличивает силу в 3 раза.
2. Новое расстояние равно r/2, поэтому квадрат расстояния уменьшается в 4 раза.
3. Уменьшение знаменателя в 4 раза увеличивает силу в 4 раза.
4. Общий множитель равен 3·4 = 12.

Ответ: сила всемирного тяготения увеличится в 12 раз.

Типичные ошибки

Подставляют расстояние между поверхностями тел вместо расстояния между центрами. Так происходит, когда тело представляют как точку на ближайшей поверхности, хотя закон для шаров использует центры. Проверьте, откуда и докуда проведён отрезок r.

Забывают возвести расстояние в квадрат или считают, что сила обратно пропорциональна самому r. Ошибка возникает из-за невнимательной записи знаменателя. Перед вычислением отдельно найдите r² и вспомните: увеличение расстояния в 2 раза уменьшает силу в 4 раза.

Путают массу тела с его весом или силой тяжести. Масса измеряется в килограммах и входит в формулу закона, а вес и сила тяжести являются силами и измеряются в ньютонах. Проверьте единицы всех величин из условия.

Считают, что силы притяжения действуют на одно тело или имеют разные модули. На самом деле каждый объект испытывает свою силу, силы приложены к разным телам, равны по модулю и противоположны. Это можно проверить по третьему закону Ньютона.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны понятия массы, силы и вектора, третий закон Ньютона, единицы СИ и правила работы со степенями десяти. Закон всемирного тяготения связывает эту тему с силой тяжести и ускорением свободного падения: у поверхности Земли F = mg получается из гравитационной формулы. Дальше закон применяется к движению спутников и планет, а также помогает понять законы Кеплера.

Что запомнить

• Все тела с массой взаимно притягиваются.
• Сила тяготения направлена вдоль линии, соединяющей центры тел.
• F = Gm₁m₂/r².
• Сила прямо пропорциональна каждой из масс.
• Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Гравитационное взаимодействие подчиняется третьему закону Ньютона.
• Для тел сферической формы, например Земли, расстояние r отсчитывают между центрами.