"Физика", Грачёв А.В., Погожев В.А., Боков П.Ю.
Равномерное движение по окружности происходит с постоянной по модулю скоростью, но направление скорости непрерывно меняется, поэтому тело движется с ускорением. Главная задача динамики здесь — определить силу, которая направлена к центру окружности и заставляет тело менять направление движения. Для решения используют второй закон Ньютона, формулу a₍ц₎ = v²/R и связь скорости с радиусом, периодом или частотой обращения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение с постоянной по модулю скоростью, при котором направление скорости непрерывно изменяется. Поэтому слово «равномерное» относится только к значению скорости. Такое определение нужно, чтобы не перепутать постоянную скорость по модулю с отсутствием ускорения.
Центростремительное ускорение — ускорение, направленное к центру окружности. Его модуль равен a₍ц₎ = v²/R или a₍ц₎ = 4π²R/T². Формула позволяет связать изменение движения с радиусом, скоростью и периодом обращения.
Центростремительная сила — равнодействующая сил, направленная к центру окружности и обеспечивающая центростремительное ускорение. Она не обязательно является отдельным видом силы. Понятие нужно, чтобы правильно объединить действия нескольких сил в одном радиальном направлении.
Радиус, период и частота обращения связывают размеры траектории и скорость: v = 2πR/T = 2πRν. Радиус R измеряют в метрах, период T — в секундах, частоту ν — в герцах. Эти соотношения помогают заменить скорость величинами, которые указаны в условии.
Даже при постоянном модуле скорости тело движется с ускорением, потому что скорость является вектором. Вектор имеет не только числовое значение, но и направление, а при движении по окружности оно всё время поворачивается. Изменение направления тем быстрее, чем больше скорость и чем меньше радиус, поэтому a₍ц₎ = v²/R.
По второму закону Ньютона ускорение возникает под действием равнодействующей сил. Значит, для движения по окружности сумма сил должна иметь радиальную составляющую, направленную к центру. Её величина должна удовлетворять условию F₍ц₎ = ma₍ц₎ = mv²/R.
Центростремительная сила не добавляется к схеме как новая сила. Например, у груза на нити нужную равнодействующую создаёт натяжение, у автомобиля на повороте — трение, а у спутника — сила тяготения. Если к уже нарисованным силам дополнительно приписать «центростремительную», получится двойной счёт.
Для решения выбирают ось вдоль радиуса, обычно направляя её к центру. Затем каждую силу мысленно раскладывают на радиальную и перпендикулярную составляющие. Радиальные проекции входят в уравнение ΣFᵣ = mv²/R, а перпендикулярные проекции определяют движение вдоль окружности или условие равновесия в этом направлении.
Сначала из условия находят известные величины и определяют, какая сила создаёт движение к центру. После составления уравнения выражают неизвестную скорость, радиус, период, силу или коэффициент трения. В конце проверяют единицы: скорость должна получиться в м/с, сила — в ньютонах, радиус — в метрах; полезно также оценить, реалистичен ли результат.
| Ситуация | Силы, создающие центростремительную равнодействующую | Уравнение по радиальному направлению | Что можно определить |
|---|---|---|---|
| Тело на нити движется по горизонтальной окружности | Натяжение нити | Fнат = mv²/R | Скорость, натяжение или радиус |
| Автомобиль проходит горизонтальный поворот | Сила трения покоя | Fтр = mv²/R, Fтр ≤ μN | Предельную скорость или минимальный радиус поворота |
| Тело движется по вертикальной окружности | Натяжение нити и сила тяжести | Сумма радиальных проекций сил = mv²/R | Силу натяжения или минимальную скорость |
| Конический маятник | Натяжение нити и сила тяжести | Проекции натяжения: по вертикали равновесие, по горизонтали mv²/R | Скорость, угол отклонения или радиус |
Пользуйтесь таблицей после того, как определили тип движения и нарисовали силы. Выберите строку, запишите уравнение именно для радиального направления, а затем добавьте связь v = 2πR/T или v = 2πRν, если в условии дан период или частота.
Груз массой m движется по горизонтальной окружности радиуса R с постоянной скоростью v. Нужно найти силу натяжения нити. Вертикальные силы в этой модели уравновешены, а к центру окружности направлено только натяжение.
Ответ: Fнат = mv²/R. Чем больше скорость, тем сильнее натянута нить; при увеличении радиуса требуемое натяжение уменьшается.
Автомобиль массой m движется по горизонтальному закруглению радиуса R. Коэффициент трения между шинами и дорогой равен μ, требуется найти максимальную скорость. Максимальная скорость соответствует моменту, когда сила трения покоя достигает предельного значения.
Ответ: vmax = √(μgR). Масса автомобиля не влияет на результат в этой идеализированной модели, а проверка единиц даёт м/с.
Шарик массой m движется по вертикальной окружности радиуса R с заданной скоростью v. Нужно найти натяжение нити в нижней и верхней точках. В каждой точке отдельно выбираем радиальное направление к центру и учитываем направление силы тяжести.
Ответ: внизу Fнат, н = mv²/R + mg, вверху Fнат, в = mv²/R − mg. Натяжение в верхней точке должно быть неотрицательным, иначе нить не сможет оставаться натянутой.
Считают ускорение нулевым. Так происходит из-за смешения постоянного модуля скорости с постоянным вектором скорости. Проверьте направление вектора: если оно меняется, ускорение есть и равно v²/R по модулю.
Добавляют центростремительную силу к силам тела. Это название равнодействующей, а не новый источник взаимодействия. Проверьте схему: все реальные силы должны быть перечислены один раз, после чего их радиальные проекции складываются.
Неверно выбирают направление радиальной оси или знак тяжести. Особенно часто это случается на вертикальной окружности, где верхняя и нижняя точки различаются. Нарисуйте стрелку оси к центру и определите для каждой силы, совпадает ли её направление с осью.
Всегда используют Fтр = μN. Для трения покоя это не обязательное значение, а только максимально возможное: Fтр ≤ μN. Сначала найдите требуемую силу mv²/R, затем проверьте, не превышает ли она предельную.
Для решения нужны второй закон Ньютона, сложение и разложение сил, проекции векторов, а также понятия скорости и ускорения. Формулы v = 2πR/T и v = 2πRν связывают динамику с периодом и частотой обращения. Эти знания применяются при изучении движения планет и спутников, поворотов транспорта, вращения механизмов и закона всемирного тяготения.
Почему тело движется с ускорением, если его скорость по модулю постоянна?
Ускорение показывает изменение вектора скорости, а не только изменение его числового значения. При движении по окружности направление скорости меняется в каждой точке, поэтому ускорение направлено к центру.
Можно ли считать центростремительную силу отдельной силой?
Нет. Центростремительная сила — это равнодействующая уже действующих сил в направлении к центру. Её могут создавать натяжение нити, трение, сила тяжести, реакция опоры или их сочетание.
Какая сила заставляет автомобиль двигаться по дуге поворота?
На горизонтальной дороге такую силу обычно создаёт сила трения покоя между шинами и дорогой. Она направлена к центру закругления и не даёт автомобилю скользить наружу.
Почему при движении по вертикальной окружности уравнения для верхней и нижней точек различаются?
Сила тяжести и натяжение нити имеют разные направления относительно центра в верхней и нижней точках. Поэтому их радиальные проекции входят в уравнения с разными знаками.
Как понять, в каком направлении брать проекции сил?
Сначала проведите радиальную ось от тела к центру окружности или выберите направление к центру положительным. Затем определите, какие силы направлены по этой оси, а какие — против неё, и запишите сумму проекций.
§ 17. Решение задач динамики равномерного движения по окружности
