"Физика", Грачёв А.В., Погожев В.А., Боков П.Ю.
Материальная точка может двигаться по окружности с постоянной по модулю скоростью, но такое движение всё равно является ускоренным: направление скорости непрерывно меняется. Чтобы траектория оставалась окружностью, равнодействующая сил должна быть направлена к её центру. Параграф объясняет происхождение центростремительного ускорения и силы, связывает их со скоростью, радиусом и периодом обращения, а также показывает применение формул при решении задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение материальной точки по окружности — движение с постоянной по модулю скоростью по траектории-окружности. Буквой v обозначают скорость, а R — радиус окружности. Это определение помогает отличать постоянство значения скорости от постоянства всего вектора скорости.
Центростремительное ускорение — ускорение, направленное от точки к центру окружности и изменяющее направление скорости. Его обозначают a, а модуль вычисляют по формуле a = v2/R. Оно нужно, чтобы описать, почему тело не продолжает двигаться прямо, несмотря на неизменный модуль скорости.
Центростремительная сила — равнодействующая сил, направленная к центру окружности и обеспечивающая криволинейное движение. Для неё используют обозначение F, а связь с ускорением задаёт второй закон Ньютона: F = ma. Это не новая самостоятельная сила, а общий результат действия реальных сил.
Период обращения — время одного полного оборота материальной точки по окружности. Период обозначают T и измеряют в секундах. Через него можно найти скорость: за время T тело проходит длину окружности 2πR, поэтому v = 2πR/T.
При движении по окружности скорость направлена по касательной к траектории. В следующей точке касательная уже имеет другое направление, поэтому вектор скорости изменяется, даже если его длина остаётся прежней. Именно изменение вектора скорости означает наличие ускорения.
Рассмотрим два близких положения точки на окружности. За небольшой промежуток времени радиус поворачивается на малый угол, и конец вектора скорости тоже смещается примерно на величину, связанную с этим углом. Геометрия подобных треугольников даёт отношение изменения скорости к пройденному пути: Δv/v ≈ Δs/R. Поскольку Δs = vΔt, после деления на Δt получается a = v2/R.
Ускорение направлено не по касательной, потому что касательное направление отвечает за изменение модуля скорости. При равномерном движении модуль не меняется, а меняется только направление, поэтому ускорение перпендикулярно скорости. Перпендикуляр к касательной к окружности проходит через центр, и вектор ускорения направлен внутрь, к этому центру.
По второму закону Ньютона ускорение создаётся равнодействующей сил: F = ma. Подставляя a = v2/R, получаем формулу центростремительной силы F = mv2/R. Чем больше масса или скорость тела, тем большее действие сил требуется для поворота его скорости, а при увеличении радиуса нужная сила уменьшается.
Центростремительную роль могут выполнять разные реальные силы. Камень на нити удерживает сила натяжения, автомобиль на ровном повороте направляет сила трения, спутник удерживает сила тяжести, а иногда к центру направлена равнодействующая нескольких сил. Поэтому сначала находят все силы и их направления, а затем определяют их суммарное действие к центру.
| Величина | Обозначение | Формула | Направление или смысл |
|---|---|---|---|
| Радиус окружности | R | — | Расстояние от центра до точки траектории |
| Скорость движения | v | v = 2πR/T | Направлена по касательной к окружности |
| Период обращения | T | T = 2πR/v | Время одного полного оборота |
| Центростремительное ускорение | a | a = v2/R | Направлено к центру окружности |
| Центростремительная сила | F | F = mv2/R | Равнодействующая сил, направленная к центру |
Сначала определите, какие величины известны в условии и какая требуется. Если дана длина окружности и время оборота, используйте связь v = 2πR/T, а затем подставляйте скорость в формулу ускорения или силы.
Направление величины помогает проверить решение: скорость должна быть касательной, а ускорение и равнодействующая сил — направленными к центру. Единицы измерения в формулах должны быть согласованы: радиус — в метрах, скорость — в метрах в секунду, масса — в килограммах.
Автомобиль движется по окружности радиусом 50 м со скоростью 10 м/с. Требуется найти модуль центростремительного ускорения. Направление результата нужно указать отдельно, поскольку формула даёт только числовое значение.
Ответ: a = 2 м/с2, ускорение направлено к центру окружности.
Материальная точка массой 2 кг движется по окружности радиусом 4 м со скоростью 6 м/с. Нужно определить центростремительную силу. Удобнее сразу применить формулу, в которую входят все данные величины.
Ответ: F = 18 Н, направление силы — к центру окружности.
Камень массой 0,5 кг вращается на нити по окружности радиусом 0,8 м с периодом 2 с. Если другие силы не дают вклада в радиальном направлении, силу натяжения можно считать центростремительной. Сначала найдём скорость по периоду, затем вычислим силу.
Ответ: сила натяжения нити примерно равна 3,9 Н и направлена к центру окружности.
Считать движение без ускорения. Так рассуждают, потому что скорость по модулю постоянна, но забывают о направлении вектора. Проверьте себя: если направление скорости меняется, ускорение не равно нулю.
Направлять ускорение или силу по касательной. Касательная задаёт направление мгновенной скорости, а не её поворота. Проведите радиус к точке: центростремительные величины должны быть направлены вдоль этого радиуса к центру.
Считать центростремительную силу отдельной силой. Это название равнодействующей, поэтому искать нужно реальные силы — натяжение, трение, тяжесть или их сумму. Проверьте рисунок сил и сложите их проекции в направлении к центру.
Использовать a = v/R. В такой записи пропущен ещё один множитель скорости, поэтому нарушаются и размерность, и зависимость результата от движения. Запомните: a = v2/R, а при увеличении скорости в два раза ускорение возрастает в четыре раза.
Для понимания темы нужны векторы скорости и ускорения, второй закон Ньютона, равномерное движение и связь скорости с радиусом и периодом. Параграф соединяет кинематическое описание движения по окружности с динамикой, то есть объясняет его действие сил.
Полученные формулы применяются при изучении движения спутников и планет, поворотов транспорта и движения заряженных частиц в магнитном поле. В каждом случае нужно определить силу, которая удерживает тело на криволинейной траектории.
Почему тело движется с ускорением, если его скорость по модулю не меняется?
Ускорение характеризует изменение вектора скорости, а у вектора есть и модуль, и направление. При движении по окружности направление скорости постоянно меняется, поэтому тело движется с ускорением.
Куда направлены скорость, ускорение и сила при движении по окружности?
Мгновенная скорость направлена по касательной к окружности. Центростремительное ускорение и равнодействующая сил направлены от тела к центру окружности.
Является ли центростремительная сила самостоятельной силой?
Нет, это не новый вид силы, а название равнодействующей сил, направленной к центру. Её роль могут выполнять сила натяжения, трения, тяжести или их совместное действие.
Что произойдёт с центростремительной силой при увеличении скорости?
При неизменных массе и радиусе сила пропорциональна квадрату скорости: F = mv²/R. Поэтому при увеличении скорости в два раза она возрастёт в четыре раза.
Какая сила обеспечивает движение автомобиля по закруглённому участку дороги?
На обычной дороге центростремительную силу создаёт сила трения между шинами и покрытием. Она направлена к центру закругления и не позволяет автомобилю двигаться по касательной.
§ 16. Динамика равномерного движения материальной точки по окружности
