"Физика", Грачёв А.В., Погожев В.А., Боков П.Ю.
Система связанных тел состоит из тел, движение которых ограничено нитью или блоком. Чтобы решить задачу, каждое тело рассматривают отдельно, изображают действующие силы и записывают второй закон Ньютона. Нерастяжимая нить связывает ускорения тел, а идеальная нить передаёт одинаковую силу натяжения. После составления системы уравнений находят ускорение, натяжение и направление движения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система связанных тел — несколько тел, движение которых взаимно ограничено нитью, блоком или другим связующим элементом. Например, два бруска могут быть соединены нитью и двигаться согласованно. Такое описание нужно, чтобы учитывать не только силы, но и общую связь движений.
Невесомая нерастяжимая нить — идеальная нить, массу которой не учитывают, а длина которой не изменяется при движении. Поэтому нить не добавляет отдельное неизвестное тело в расчёт. Её постоянная длина связывает перемещения и ускорения соединённых тел.
Сила натяжения — сила, с которой нить действует на соединённые тела. Она направлена вдоль нити от тела, на которое действует, к нити. Для идеальной нити её величина одинакова на обоих участках, что уменьшает число неизвестных в системе уравнений.
Идеальный блок — блок, у которого не учитываются масса, трение в оси и сопротивление движению нити. Он меняет направление силы натяжения, но не её величину. Такая модель позволяет сосредоточиться на движении грузов и применить простые уравнения Ньютона.
Задачу сначала разбивают на отдельные тела, потому что второй закон Ньютона связывает силы и ускорение конкретного тела. Если записать только одно общее уравнение, можно не увидеть, какая сила действует на каждый брусок или груз. Для каждого тела строят схему сил, а затем объединяют полученные уравнения связями.
Нерастяжимость нити означает, что её длина остаётся постоянной. Когда один конец нити перемещается на некоторый отрезок, другой конец должен переместиться согласованно, иначе длина нити изменилась бы. Поэтому ускорения связанных тел равны по модулю, хотя при движении в противоположные стороны их знаки относительно одной оси различаются.
Одинаковое натяжение объясняется идеальностью нити и блока. Если бы у участка нити была заметная масса, разные его части пришлось бы ускорять, и натяжения могли бы отличаться. Масса и трение блока также создают разность сил по его сторонам, поэтому равенство натяжений используют только в идеальной модели.
Сначала выбирают положительное направление для каждого тела, обычно по предполагаемому движению. Затем проецируют силы на выбранную ось и записывают для каждого тела ΣF = ma. В уравнениях появляются масса, ускорение и натяжение; дополнительное уравнение даёт связь ускорений, заданную нитью.
После решения системы сначала удобно найти ускорение, потому что оно характеризует движение всей системы. Затем его подставляют в одно из уравнений и определяют силу натяжения. В конце проверяют единицы измерения, знак ускорения и соответствие найденного направления реальному движению.
Таблица помогает не смешивать силы разных тел. В графе «Связь для системы» записывают условие, общее для всей конструкции, например равенство модулей ускорений. При сложении уравнений проверяют, какие силы являются внутренними и должны исчезнуть.
| Элемент решения | Тело 1 | Тело 2 | Связь для системы |
|---|---|---|---|
| Силы, действующие на тело | Сила тяги, натяжение, реакция опоры, сила тяжести | Сила тяги, натяжение, реакция опоры, сила тяжести | Учитываются силы, общие для выбранной модели |
| Проекция второго закона Ньютона | ΣF₁ = m₁a₁ | ΣF₂ = m₂a₂ | Уравнения решаются совместно |
| Направление положительной оси | Обычно по предполагаемому движению тела | По предполагаемому движению тела | Знаки должны соответствовать выбранным осям |
| Связь ускорений | a₁ = a | a₂ = a по модулю | |a₁| = |a₂| для нерастяжимой нити |
| Величина, исключаемая при сложении уравнений | Сила натяжения T | Сила натяжения T | Внутренние натяжения взаимно уничтожаются |
Условие: бруски массами 2 кг и 3 кг соединены лёгкой нитью, к первому приложена сила 10 Н. Поверхность гладкая, поэтому трения нет. Нужно найти ускорение системы и натяжение нити.
Ответ: ускорение системы 2 м/с², сила натяжения нити 6 Н. Натяжение меньше приложенной силы, поскольку часть силы разгоняет первый брусок.
Условие: грузы массами 2 кг и 3 кг соединены нитью через неподвижный идеальный блок, g = 10 Н/кг. Более тяжёлый груз движется вниз, а лёгкий — вверх. Требуются ускорение и натяжение.
Ответ: груз 3 кг движется вниз, груз 2 кг — вверх; ускорение равно 2 м/с², натяжение равно 24 Н. Оно не равно весу ни одного груза, потому что движение происходит с ускорением.
Условие: брусок 4 кг лежит на гладкой плоскости с углом 30° и соединён с грузом 3 кг, g = 10 Н/кг. Сравним силу 3g = 30 Н у висящего груза и составляющую 4g sin 30° = 20 Н у бруска. Значит, груз движется вниз, а брусок — вверх по плоскости.
Ответ: висящий груз движется вниз, брусок — вверх; ускорение системы примерно 1,43 м/с², сила натяжения примерно 25,7 Н. Перпендикулярная составляющая силы тяжести влияет на реакцию опоры, но не разгоняет брусок вдоль плоскости.
Записывают одно общее уравнение без выделения тел. Так теряют натяжение или приписывают его не тому телу, потому что не видно направления каждой силы. Проверка: нарисуйте отдельную схему сил и составьте уравнение для каждого тела.
Считают натяжение равным весу груза. Это верно лишь при покое или равномерном движении подвешенного груза, когда ускорение равно нулю. Проверьте себя по формуле ΣF = ma: при a ≠ 0 натяжение и вес обычно различаются.
Задают одинаковое направление ускорения тел, движущихся в противоположные стороны. Из-за этого появляются неверные знаки в проекциях сил. Выберите для каждого тела положительное направление по предполагаемому движению и следите за знаками.
Учитывают натяжение как внешнюю силу всей системы. Для отдельных тел оно необходимо, но при сложении уравнений натяжения направлены навстречу и сокращаются. Проверьте, относится ли рассматриваемая сила к внутренним или внешним силам системы.
Для решения нужны второй закон Ньютона, знания о силе тяжести, реакции опоры и трении, а также правила проекций сил на оси. Необходимо уметь строить схемы сил и выбирать положительное направление движения. Этот метод применяется при изучении наклонной плоскости, блоков, неравномерного движения и закона сохранения энергии.
Почему ускорения связанных тел одинаковы по модулю?
Длина нерастяжимой нити не изменяется, поэтому одно тело не может переместиться дальше или ближе другого относительно нити. Значит, за одинаковое время связанные тела проходят согласованные расстояния, а их ускорения равны по модулю. Направления ускорений могут быть противоположными.
Почему сила натяжения одинакова по всей идеальной нити?
У идеальной нити нет массы, поэтому не требуется сила для ускорения отдельных её участков. Если блок также идеален, трение не создаёт различий в натяжении. Поэтому на соединённые тела действуют равные по величине силы натяжения.
Как определить, в какую сторону начнёт двигаться система?
Сравнивают силы, направленные вдоль нити и способные привести систему в движение. Для двух подвешенных грузов это обычно их веса, а на наклонной плоскости учитывают составляющую силы тяжести вдоль склона. Если направление выбрано неверно, отрицательный знак ускорения укажет противоположное направление.
Нужно ли учитывать силу натяжения при рассмотрении всей системы?
Для каждого тела силу натяжения записывают обязательно. Но при сложении уравнений для всей системы натяжения являются внутренними силами и взаимно уничтожаются. Внешние силы при этом остаются.
Что изменится в решении, если нить имеет массу или блок неидеален?
При массивной нити натяжение на разных участках может отличаться, потому что нить нужно ускорять. Неидеальный блок может иметь массу и трение, поэтому силы натяжения по обе стороны блока уже не обязаны быть равными. В систему уравнений добавляют соответствующие силы или момент вращения.
§ 15. Решение задач о движении связанных тел
