"Физика", Грачёв А.В., Погожев В.А., Боков П.Ю.
Твёрдое тело может не только перемещаться, но и поворачиваться под действием сил. Чтобы понять, останется ли оно в покое или будет двигаться равномерно, нужно учитывать и сами силы, и их вращательное действие. Его описывает момент силы, зависящий от величины силы и её плеча. Условия равновесия требуют, чтобы равнодействующая сил и сумма моментов были равны нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равновесие твёрдого тела — состояние, при котором тело сохраняет покой или движется равномерно и прямолинейно. Иными словами, его скорость не меняется ни по величине, ни по направлению. Это понятие помогает определить, какие силы не дают телу начать ускоряться или менять направление движения.
Момент силы — мера вращательного действия силы, вычисляемая по формуле M = F·l, где F — сила, а l — её плечо. Чем больше произведение силы на плечо, тем сильнее действие, способное повернуть тело. Момент измеряют в ньютон-метрах (Н·м), и он зависит не только от силы, но и от её положения относительно оси.
Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Линия действия — воображаемая прямая, вдоль которой направлена сила, а кратчайшее расстояние до неё всегда перпендикулярно. Плечо нужно, чтобы учесть, насколько далеко от оси действует сила и какой момент она создаёт.
Условия равновесия твёрдого тела — равенство нулю равнодействующей сил и суммы моментов сил относительно выбранной точки. Первое условие исключает поступательное ускорение, второе — вращательное. Выполнить нужно оба условия: одно не заменяет другое.
Приложенная к телу сила может вызвать не только поступательное движение, но и вращение. Например, толчок у края двери поворачивает её вокруг петель, потому что линия действия силы не проходит через ось вращения. Если линия действия проходит через ось, плечо равно нулю и такой момент не возникает. Значит, результат действия силы зависит от того, где именно она приложена.
Вращательное действие зависит и от величины силы, и от расстояния до оси. Для одной и той же силы увеличение плеча увеличивает момент: это объясняет, почему длинной ручкой легче поворачивать тугой кран. Плечо находят не до точки приложения, а до линии действия силы, причём измеряют перпендикуляр. Только такое расстояние правильно показывает, насколько сила удалена от оси в смысле вращения.
Если сила направлена под углом, поворачивает тело только её составляющая, перпендикулярная радиусу от оси к точке приложения. Параллельная радиусу составляющая не стремится вращать тело, поэтому её вклад в момент равен нулю. При расстоянии r от оси и угле α между радиусом и силой момент можно записать как M = F·l = F·r·sin α. Когда сила перпендикулярна радиусу, sin α = 1, и момент максимален для данной силы и данного расстояния.
Для равновесия без поступательного движения сумма всех сил должна быть нулевой: силы уравновешивают друг друга. Однако это ещё не исключает поворот, потому что силы могут создавать моменты в одном направлении. Чтобы тело не вращалось, сумма моментов также должна быть равна нулю. Поэтому полное равновесие требует одновременно ΣF = 0 и ΣM = 0.
Решая задачу, сначала выбирают точку, относительно которой будут считать моменты. Затем определяют плечи и отмечают, какие силы вращают тело по часовой стрелке, а какие — против неё; этим направлениям назначают противоположные знаки. После этого составляют уравнение моментов и отдельно проверяют сумму сил. Такой порядок удобен, потому что некоторые силы могут проходить через выбранную точку и не создавать относительно неё момента.
| Характеристика | Поступательное равновесие | Вращательное равновесие |
|---|---|---|
| Какое действие предотвращается | Результирующее поступательное движение | Вращение вокруг оси |
| Математическое условие | Сумма сил равна нулю | Сумма моментов сил равна нулю |
| Основная формула | ΣF = 0 | ΣM = 0 |
| Что учитывают при расчёте | Величины и направления сил | Силы и их плечи |
Таблица показывает два независимых условия: равновесие по силам отвечает за поступательное движение, а равновесие по моментам — за вращение. При решении задачи проверьте оба столбца, даже если тело выглядит неподвижным. Для моментов обязательно учитывайте плечи и направления вращения.
Задача 1. Сила 20 Н приложена к рычагу, её плечо равно 0,3 м. Найдите момент силы. Нужно умножить силу на перпендикулярное расстояние до линии её действия, поскольку именно это произведение учитывает вращательное действие. 1) Запишем формулу M = F·l. 2) Подставим значения: M = 20 Н · 0,3 м = 6 Н·м. Ответ: 6 Н·м.
Задача 2. На одном плече рычага длиной 0,2 м действует сила 150 Н. На каком расстоянии от опоры нужно приложить силу 50 Н, чтобы рычаг был в равновесии? Для равновесия моменты сил по разные стороны опоры должны компенсировать друг друга. 1) Запишем F₁l₁ = F₂l₂. 2) Выразим неизвестное расстояние: l₂ = F₁l₁/F₂. 3) Подставим значения: l₂ = 150 Н · 0,2 м / 50 Н = 0,6 м. Ответ: силу 50 Н нужно приложить на расстоянии 0,6 м от опоры.
Задача 3. Горизонтальная балка закреплена слева и поддерживается вертикальной силой справа, в 4 м от опоры. Вниз действуют силы 200 Н на расстоянии 1 м и 100 Н на расстоянии 3 м от левой опоры. Найдём поддерживающую силу и реакцию левой опоры. Сначала используем моменты, чтобы исключить неизвестную реакцию опоры, затем проверим вертикальные силы.
Ответ: поддерживающая сила равна 125 Н, реакция левой опоры — 175 Н. Проверка даёт равновесие по вертикали: 125 Н + 175 Н = 300 Н, то есть сумма направленных вверх сил равна сумме направленных вниз.
Первая ошибка — брать расстояние до точки приложения силы вместо перпендикулярного расстояния до её линии действия. Её допускают, потому что измерить прямой отрезок до места приложения кажется проще, но он не всегда совпадает с плечом. Проверьте себя: плечо должно образовывать прямой угол с линией действия силы.
Вторая ошибка — складывать моменты, не учитывая направление вращения. Тогда моменты, действующие в противоположные стороны, ошибочно считают усиливающими друг друга. Чтобы проверить запись, обозначьте для каждого момента вращение по часовой стрелке или против неё и задайте этим направлениям разные знаки.
Третья ошибка — использовать только условие ΣM = 0 и забывать о сумме сил. Моменты могут уравновеситься, хотя тело будет перемещаться поступательно; это возможно, если все силы создают нулевые или взаимно компенсирующиеся моменты. После уравнения моментов отдельно проверьте, равна ли нулю равнодействующая сил.
Четвёртая ошибка — путать момент силы с самой силой. Сила измеряется в ньютонах, а момент — в Н·м и зависит ещё и от плеча, поэтому одинаковые силы могут создавать разные моменты. Проверьте себя по формуле M = F·l: в расчёте должны присутствовать и сила, и плечо, а единица результата должна быть Н·м.
Для изучения равновесия нужны знания о видах сил, сложении сил, равнодействующей и втором законе Ньютона: они помогают проверить поступательное движение. Понятия перпендикулярного расстояния и разложения силы на составляющие нужны, чтобы правильно находить плечо и момент. Эти знания применяются при изучении рычагов и других простых механизмов, центра тяжести и устойчивости конструкций. Так условия равновесия помогают объяснять работу механизмов и оценивать, почему сооружение сохраняет устойчивость.
Почему сила, приложенная дальше от оси, сильнее поворачивает тело?
При одинаковой силе увеличение расстояния от оси до линии её действия увеличивает плечо. Поэтому возрастает момент силы M = F·l и тело поворачивается сильнее.
Как правильно определить плечо силы?
Продлите линию действия силы и проведите от оси вращения к этой линии перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра и есть плечо, а не расстояние до точки приложения силы.
Почему для равновесия недостаточно равенства нулю суммы моментов?
Нулевые моменты могут уравновесить вращение, но тело всё ещё способно перемещаться под действием сил. Поэтому требуется также, чтобы равнодействующая сил была равна нулю.
Относительно какой точки лучше вычислять моменты сил?
Можно выбрать любую точку, но удобнее ту, через которую проходят линии действия неизвестных сил: их моменты относительно этой точки равны нулю. Тогда уравнение моментов получается проще.
Чем момент силы отличается от работы силы?
Момент силы характеризует её способность вращать тело и измеряется в Н·м. Работа показывает передачу энергии при перемещении тела и измеряется в джоулях; одинаковая единица Н·м не означает, что это одна и та же величина.
§ 29. Равновесие тела. Момент силы. Условия равновесия твёрдого тела
