"Физика", Грачёв А.В., Погожев В.А., Боков П.Ю.
Механическая энергия системы тел — это сумма энергий движения и взаимодействия всех тел, входящих в систему. Она помогает объяснять, как при падении потенциальная энергия превращается в кинетическую, а при подъёме происходит обратное превращение. В замкнутой системе без трения и других неконсервативных сил сумма этих энергий постоянна. Закон сохранения механической энергии позволяет находить скорость, высоту и деформацию без подробного описания движения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Механическая энергия системы тел — сумма кинетических и потенциальных энергий всех тел системы; её обозначают E или Eмех. Такое определение нужно, потому что движение нескольких тел и их взаимодействие рассматривают вместе, а не по отдельности. Поэтому в расчёте учитывают каждое тело и каждую существенную связь между ними.
Кинетическая энергия — энергия движения тела: Eк = mv²/2. Она зависит от массы и квадрата скорости, поэтому увеличение скорости особенно сильно увеличивает энергию. Эта формула помогает связать скорость тела с возможной работой сил.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей одного тела, зависящая от их взаимного положения. Например, поднятое тело имеет энергию mgh, а растянутая пружина — kx²/2. Понятие нужно, чтобы описывать запас энергии, который может перейти в движение.
Закон сохранения механической энергии утверждает, что в замкнутой системе при действии только консервативных сил сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна. Консервативные силы, например сила тяжести и сила упругости, не превращают механическую энергию во внутреннюю. Поэтому можно сравнивать состояния системы, не разбирая каждый момент движения.
Энергию системы находят сложением энергий всех её тел, потому что каждое тело может двигаться и одновременно взаимодействовать с другими. Если рассматривать только одно тело, часть происходящих превращений останется за границами описания. Выбранная система должна включать тела, между которыми действуют силы, чью работу мы хотим учесть как изменение потенциальной энергии.
При движении тело может опускаться, ускоряться или подниматься, поэтому меняются его кинетическая и потенциальная энергии. Например, при падении уменьшается mgh, но возрастает mv²/2: энергия положения переходит в энергию движения. При подъёме происходит обратное превращение, а общая сумма остаётся прежней, если потерями можно пренебречь.
Изменение механической энергии связано с работой сил, которые не входят в консервативное взаимодействие системы. В общем случае Eмех,кон − Eмех,нач = Aвнешн + Aнеконс. Сила трения совершает отрицательную работу, поэтому механическая энергия уменьшается, а потерянная часть переходит во внутреннюю энергию поверхностей и окружающей среды.
Механическая энергия сохраняется не сама по себе, а при определённых условиях. Нужно выбрать замкнутую систему, чтобы внешние силы не совершали работы, и оставить только консервативные силы: тяжесть, упругость и другие силы, для которых можно ввести потенциальную энергию. Если внешняя сила действует, но её работа равна нулю, сохранение также возможно.
Для решения задачи сравнивают два состояния: начальное и конечное. В каждом состоянии записывают кинетическую энергию каждого движущегося тела и подходящую потенциальную энергию, после чего составляют равенство или энергетический баланс. Неизвестную скорость, высоту или деформацию находят уже из полученного уравнения.
| Величина | Формула | От чего зависит | Единица измерения | Как изменяется при движении |
|---|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия | Eк = mv²/2 | Масса и квадрат скорости | Джоуль, Дж | Растёт при ускорении, уменьшается при торможении |
| Потенциальная энергия тела в поле тяжести | Eп = mgh | Масса, ускорение свободного падения и высота | Джоуль, Дж | Уменьшается при спуске и возрастает при подъёме |
| Потенциальная энергия упругой деформации | Eп = kx²/2 | Жёсткость тела и квадрат деформации | Джоуль, Дж | Растёт при растяжении или сжатии |
| Механическая энергия системы | Eмех = Eк + Eп | Движение и взаимное положение тел | Джоуль, Дж | Переходит между видами или изменяется из-за работы неконсервативных сил |
| Механическая энергия при действии сил трения или внешних сил | ΔEмех = Aвнешн + Aтр | Работа внешних сил и трения | Джоуль, Дж | Увеличивается при положительной работе и уменьшается при отрицательной |
| Механическая энергия в замкнутой системе | Eмех,нач = Eмех,кон | Отсутствие внешней работы и неконсервативных сил | Джоуль, Дж | Остаётся постоянной, хотя Eк и Eп могут меняться |
Сначала определите, какие виды энергии есть в начальном и конечном состояниях. Затем проверьте условия последней строки: при трении или внешней работе используйте энергетический баланс, а не простое равенство энергий. Нулевой уровень высоты можно выбрать удобным, если высоты в обоих состояниях отсчитываются от него одинаково.
Условие. Тело массой 2 кг движется со скоростью 6 м/с. Требуется определить его кинетическую энергию. Известны масса и скорость, поэтому используем формулу энергии движения.
Ответ: кинетическая энергия тела равна 36 Дж. Масса сократила деление на 2, но учитывать её в формуле всё равно необходимо.
Условие. Тело падает с высоты 20 м без начальной скорости. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, нужно найти скорость у поверхности Земли. Потенциальная энергия в начале полностью превращается в кинетическую энергию в конце.
Ответ: скорость тела у поверхности Земли равна 20 м/с. Начальная высота и конечный уровень определяют разность потенциальных энергий.
Условие. Брусок массой m движется по горизонтальной шероховатой поверхности со скоростью v₀, проходит путь s; коэффициент трения равен μ. Требуется найти конечную скорость. Высота не меняется, поэтому потенциальные энергии в начале и конце одинаковы.
Ответ: конечная скорость определяется формулой v = √(v₀² − 2μgs), если выражение под корнем неотрицательно. Уменьшение энергии равно по модулю работе трения.
Считать механическую энергию только кинетической или только потенциальной — ошибка, потому что оба вида могут существовать одновременно. Её допускают, когда рассматривают лишь заметное изменение одного вида энергии. Проверьте себя: перечислите движение и все взаимодействия тел в начальном и конечном состояниях.
Применять закон сохранения без учёта трения нельзя, поскольку трение совершает отрицательную работу. Часто забывают о нём, увидев знакомые начальную и конечную точки. Проверьте условие задачи и добавьте работу неконсервативной силы в энергетический баланс.
Нельзя путать изменение энергии с самой энергией и без условий писать Eнач = Eкон. Такое равенство верно только при сохранении механической энергии, а при внешней работе нужно использовать ΔEмех = A. Проверьте, какие силы действуют между выбранными состояниями.
Неверный выбор системы или нулевого уровня приводит к неправильным энергиям. Уровень отсчёта можно выбрать произвольно, но систему и высоты нужно использовать последовательно. Проверьте, входят ли в систему все взаимодействующие тела и одинаково ли отсчитаны высоты.
До этой темы нужны формулы кинетической и потенциальной энергии, понятия работы и мощности, второй закон Ньютона и представление о замкнутой системе. Работа силы показывает, как изменяется энергия движения. Эти знания позволяют перейти от сил и ускорений к более короткому энергетическому решению.
Механическая энергия связывает тему с колебаниями, движением планет и спутников, ударами и простыми механизмами. В каждой такой задаче сравнивают состояния системы и определяют, какие формы энергии переходят друг в друга. Закон сохранения помогает находить неизвестные величины без вычисления времени движения.
С предыдущей темой эту тему связывает работа силы: она может изменять кинетическую энергию. При трении и сопротивлении механическая энергия преобразуется во внутреннюю, поэтому в замкнутом мире сохраняется уже полная энергия, а не только её механическая часть.
Почему потенциальную энергию можно выбирать относительно произвольного нулевого уровня?
Физически важна не сама потенциальная энергия, а её изменение между двумя состояниями. При смене нулевого уровня ко всем значениям добавляется или отнимается одна и та же величина, поэтому разность энергий и результаты расчётов не меняются.
Сохраняется ли механическая энергия при падении тела с сопротивлением воздуха?
Нет, в системе, состоящей только из тела и Земли, механическая энергия уменьшается. Часть её переходит во внутреннюю энергию тела, воздуха и окружающей среды из-за сопротивления.
Куда исчезает механическая энергия при действии силы трения?
Она не исчезает, а превращается главным образом во внутреннюю энергию соприкасающихся тел и окружающей среды. Поэтому нагреваются поверхности, а механическая энергия выбранной системы уменьшается.
Можно ли применять закон сохранения механической энергии, если на систему действует внешняя сила?
Можно, но простое равенство начальной и конечной механических энергий обычно уже неверно. Нужно учесть работу внешней силы: изменение механической энергии равно работе внешних и неконсервативных сил.
Почему при решении задач массу тела иногда можно сократить из уравнения энергий?
Если все слагаемые энергетического уравнения пропорциональны одной и той же массе, её можно вынести за скобки и сократить. Это не означает, что масса не влияет на отдельные энергии; она просто одинаково входит в обе части уравнения.
§ 28. Механическая энергия системы тел. Изменение механической энергии. Закон сохранения механической энергии
