§ 48. Расчёт сопротивления проводника. Удельное сопротивление вещества

Определения и обозначения

Сопротивление проводника обозначают буквой R. Это электрическая величина, которая показывает, насколько проводник препятствует току; её измеряют в омах (Ом). Чем больше сопротивление при прочих равных условиях, тем труднее току проходить через проводник. Значение R относится к проводнику с определёнными размерами, материалом и температурой.

Длина проводника обозначается l и измеряется вдоль него от одного конца до другого. Для однородного проводника она влияет на сопротивление: ток, проходящий по более длинному участку, встречает больше препятствий. Длина нужна в расчётах, чтобы учесть протяжённость пути тока. Обычно её выражают в метрах.

Площадь поперечного сечения S — это площадь среза проводника, проведённого перпендикулярно его длине. Чем больше эта площадь, тем меньше сопротивление при неизменных материале и длине. У круглого провода сечение выглядит как круг на срезе, а не как площадь его поверхности. В формулах СИ S выражают в квадратных метрах.

Удельное сопротивление вещества обозначают греческой буквой ρ (ро). Оно характеризует электрические свойства вещества и показывает, какое сопротивление имел бы проводник из этого вещества при заданных единичных длине и площади сечения. Единица СИ — Ом·м. Благодаря ρ можно сравнивать материалы независимо от размеров изготовленных из них проводов.

Как это устроено

Если материал и площадь сечения не меняются, увеличение длины повышает сопротивление. По более длинному пути зарядам приходится двигаться через больший объём вещества и чаще взаимодействовать с его частицами. Поэтому препятствие движению накапливается вдоль провода. Например, из одинакового материала и с одинаковой толщиной более длинный провод будет иметь большее R.

При неизменных материале и длине увеличение площади сечения, наоборот, уменьшает сопротивление. В толстом проводе ток может распределяться по большему числу участков, которые работают как параллельные пути для зарядов. Через такой проводнику не приходится пропускать весь ток по узкому сечению. Поэтому толстый проводник оказывает меньшее сопротивление, чем тонкий той же длины.

Зависимость этих величин для однородного проводника записывают формулой R = ρl/S. Длина l стоит в числителе: если увеличить её в несколько раз, R во столько же раз возрастёт, когда остальные величины постоянны. Площадь S стоит в знаменателе, поэтому её увеличение во столько же раз уменьшит R. Удельное сопротивление ρ также находится в числителе: чем оно больше, тем больше сопротивление проводника при одинаковых размерах.

Удельное сопротивление зависит от вещества, поэтому два проводника одинаковой длины и толщины могут иметь разное сопротивление. В одном материале зарядам легче двигаться, чем в другом, и это различие отражает значение ρ. Например, при расчёте проводов из разных веществ нужно подставлять соответствующие значения удельного сопротивления. Размеры проводника учитываются отдельно — через l и S.

Табличное значение ρ относится к определённой температуре, потому что свойства вещества могут меняться при нагревании или охлаждении. В металле при нагревании частицы сильнее колеблются, и свободным зарядам обычно труднее двигаться сквозь вещество. Поэтому сопротивление металлического проводника при повышении температуры обычно увеличивается. Для точного расчёта нужно пользоваться данными, подходящими к температуре проводника.

Величины, определяющие сопротивление однородного проводника

Чтобы рассчитать сопротивление, сначала проверь, в каких единицах заданы длина и площадь, а затем выбери подходящую форму записи ρ. В таблице видно, какие величины увеличивают R, а какая уменьшает его. При сравнении проводников нужно считать остальные условия неизменными.

Разбор задач

Задача 1. Проводник длиной 2 м имеет сопротивление 4 Ом, а площадь его сечения равна 1 мм². Найдём удельное сопротивление. Поскольку ответ требуется в Ом·м, площадь сначала переведём из квадратных миллиметров в квадратные метры.

1. Запишем формулу R = ρl/S и выразим неизвестное: ρ = RS/l.
2. Переведём площадь: 1 мм² = 1 · 10⁻⁶ м².
3. Подставим данные: ρ = 4 Ом · 1 · 10⁻⁶ м² / 2 м = 2 · 10⁻⁶ Ом·м.

Ответ: ρ = 2 · 10⁻⁶ Ом·м. Единицы сокращаются правильно: Ом·м², разделённые на м, дают Ом·м. Такой результат можно проверить, подставив его обратно в исходную формулу.

Задача 2. Длина проводника равна 3 м, площадь сечения — 0,5 мм², а удельное сопротивление — 0,028 Ом·мм²/м. Найдём сопротивление. В этой записи удельного сопротивления площадь удобно оставить в мм², а длину подставить в метрах.

1. Используем R = ρl/S, не переводя 0,5 мм² в м², поскольку единицы ρ уже согласованы с мм².
2. Подставим значения: R = 0,028 · 3 / 0,5 Ом.
3. Вычислим: R = 0,084 / 0,5 Ом = 0,168 Ом.

Ответ: 0,168 Ом. Если бы мы захотели использовать ρ в Ом·м, площадь нужно было бы предварительно перевести в м². Нельзя смешивать эти два способа записи единиц в одном расчёте.

Задача 3. Проволоку растянули так, что её длина стала в 2 раза больше, при этом объём и материал не изменились. Нужно узнать, как изменилось сопротивление. Удельное сопротивление не меняется, а постоянство объёма связывает длину проволоки с площадью её сечения.

1. Объём проволоки V = lS остаётся прежним. Если l увеличилась в 2 раза, S должна уменьшиться в 2 раза.
2. Сравним исходное и новое сопротивления: R = ρl/S. В новой проволоке длина в числителе умножилась на 2, а площадь в знаменателе уменьшилась в 2 раза.
3. Значит, сопротивление умножилось на 2 · 2 = 4.

Ответ: сопротивление увеличилось в 4 раза. Если бы при растяжении изменились материал или объём, одного этого рассуждения было бы недостаточно. Здесь результат следует именно из неизменности объёма и вещества.

Типичные ошибки

Иногда в формуле путают расположение длины и площади: записывают R = ρS/l. Так происходит, когда запоминают буквы, но не смысл зависимости. Проверь себя сравнением: более длинный провод должен иметь большее сопротивление, а более толстый — меньшее. Значит, l находится в числителе, а S — в знаменателе.

Другая ошибка — подставить площадь в мм², когда ρ указано в Ом·м. Причина обычно в том, что переводят длину, но забывают: у площади единицы меняются в квадрате. Переведи 1 мм² в 10⁻⁶ м² и проверь, что обе величины в формуле выражены в подходящих единицах. Тогда результат получится в омах.

Удельное сопротивление иногда принимают за сопротивление конкретного провода. Но R зависит от размеров образца, а ρ характеризует вещество и не зависит от размеров проводника. Чтобы проверить себя, сравни два провода одного материала: при разных длинах или сечениях их R может различаться, хотя ρ одинаково. В формулу для ρ подставляют параметры проводника, чтобы найти свойство материала.

Табличное значение ρ используют, не учитывая температуру. Это упускают, потому что в условии задачи часто указана только температура из справочной таблицы. Проверь, при какой температуре приведены данные и соответствует ли ей условие. Если температура изменилась, сопротивление металлического проводника обычно тоже меняется.

Связь с другими темами

Для расчётов сопротивления нужны знания о законе Ома для участка цепи, обозначениях электрических величин и единицах СИ. Закон Ома помогает связать сопротивление с силой тока и напряжением, а формула R = ρl/S позволяет найти R по свойствам проводника. Эти знания пригодятся при выборе проводов и решении задач об электрических цепях. Удельное сопротивление также важно при изучении того, как температура влияет на сопротивление.

Что запомнить

• Для однородного проводника R = ρl/S.
• Чем длиннее проводник, тем больше его сопротивление при прочих равных условиях.
• Чем больше площадь поперечного сечения, тем меньше сопротивление.
• Удельное сопротивление ρ характеризует вещество.
• Сопротивление измеряют в омах, удельное сопротивление — в Ом·м.
• При расчётах единицы длины и площади должны соответствовать единицам ρ.