§ 10. Расчет массы и объема тела

Определения и обозначения

Масса тела — физическая величина, характеризующая количество вещества в теле; её обозначают буквой m и измеряют в килограммах. Масса нужна, чтобы сравнивать, сколько вещества содержится в разных телах. Измерить её можно, например, с помощью весов.

Объём тела — пространство, занимаемое телом; его обозначают буквой V и измеряют в кубических метрах. Для прямоугольного тела объём находят умножением длины, ширины и высоты. Объём показывает, сколько места занимает предмет.

Плотность вещества — физическая величина, равная отношению массы тела к его объёму; её обозначают греческой буквой ρ и измеряют в килограммах на кубический метр. Она показывает, какая масса вещества приходится на единицу объёма. По плотности можно сравнивать вещества и определять материал тела.

Расчёт массы и объёма — нахождение неизвестной величины по известным плотности, массе или объёму. Используют формулы ρ = m/V, m = ρV и V = m/ρ. Благодаря этим формулам можно найти одну величину, если известны две другие.

Как это устроено

Тела одинакового объёма могут иметь разную массу, потому что состоят из веществ с разной плотностью. Например, кусок железа и кусок дерева одинакового размера содержат неодинаковую массу вещества. Чем больше плотность, тем тяжелее тело того же объёма.

Определение плотности записывают формулой ρ = m/V: массу делят на объём. Из неё получают формулу массы, умножая обе части на V: m = ρV. Чтобы получить формулу объёма, делят обе части исходного равенства на ρ: V = m/ρ.

Сначала нужно определить, какая величина неизвестна, а затем выбрать формулу с этой величиной. Для массы подходит m = ρV, для объёма — V = m/ρ, для плотности — ρ = m/V. Полезно выписать известные данные буквами, чтобы не перепутать их при подстановке.

Единицы должны быть согласованными, потому что численное значение плотности связано с конкретными единицами массы и объёма. Если плотность дана в кг/м³, массу выражают в килограммах, а объём — в кубических метрах. Например, 1 л = 0,001 м³, 1 г = 0,001 кг, а 1 см³ = 0,000001 м³.

Таблица плотностей содержит справочные значения для разных веществ. Сначала плотность тела рассчитывают по измеренным массе и объёму, затем сравнивают результат с табличными данными. Совпадение или близость значений позволяет предположить, из какого вещества изготовлено тело и проверить разумность ответа.

Величины, связанные с массой, объёмом и плотностью

Пользуйтесь таблицей так: найдите неизвестную величину в первом столбце, затем посмотрите её обозначение, формулу и единицу. Последний столбец подсказывает, каким способом величину можно получить. Перед применением формулы проверьте, подходят ли единицы измерения.

Разбор задач

Масса воды по объёму

Условие: нужно определить массу 2 л воды при плотности 1000 кг/м³. Известны плотность и объём, поэтому ищем массу. Объём дан не в единицах СИ, его сначала нужно перевести.

1. Переведём объём: 2 л = 0,002 м³.
2. Выберем формулу: m = ρV.
3. Подставим значения: m = 1000 кг/м³ · 0,002 м³ = 2 кг.

Ответ: масса воды равна 2 кг. Кубические метры сокращаются, поэтому остаётся единица массы — килограмм.

Объём алюминиевой детали

Условие: масса алюминиевой детали равна 540 г, плотность алюминия — 2700 кг/м³. Требуется найти объём. Сначала переведём массу в килограммы, так как плотность выражена в кг/м³.

1. 540 г = 0,54 кг.
2. Используем формулу V = m/ρ.
3. Получаем V = 0,54 кг / 2700 кг/м³ = 0,0002 м³.

Ответ: объём детали равен 0,0002 м³, или 200 см³. Перевод в кубические сантиметры удобен для небольших предметов.

Определение вещества бруска

Условие: размеры бруска равны 5 см, 4 см и 2 см, масса — 280 г. Сначала найдём объём, затем плотность и сравним её с таблицей. Удобно оставить длины и массу в сантиметрах и граммах, чтобы получить плотность в г/см³.

1. Объём: V = abc = 5 см · 4 см · 2 см = 40 см³.
2. Плотность: ρ = m/V = 280 г / 40 см³ = 7 г/см³.
3. Переведём результат: 7 г/см³ = 7000 кг/м³ и сравним с таблицей.

Ответ: плотность бруска равна 7000 кг/м³. Ближайшее табличное значение имеет цинк, поэтому можно предположить, что брусок изготовлен из цинка.

Типичные ошибки

Объём подставляют в литрах или кубических сантиметрах, хотя плотность дана в кг/м³. Такая ошибка появляется из-за невнимательности к единицам. Проверьте, чтобы после подстановки масса была в килограммах, а объём — в кубических метрах.

Иногда записывают m = ρ/V вместо правильной формулы m = ρV. Причина — смешение формул для массы и плотности. Вспомните: плотность получают делением массы на объём, а массу при известной плотности находят умножением.

Граммы не переводят в килограммы или сантиметры — в метры. Из-за этого ответ отличается в десятки, сотни или тысячи раз. Перед вычислением выпишите единицы всех данных и приведите их к одной системе.

Объём считают по одной длине или забывают перемножить три измерения. Для прямоугольного тела нужна формула V = abc, где учитываются длина, ширина и высота. Проверьте также, что единица объёма имеет третью степень: см³ или м³.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь переводить единицы массы и объёма, а также вычислять объём прямоугольного тела. Без этих навыков легко получить неверный результат даже при правильно выбранной формуле. Повторите соотношения между граммами и килограммами, литрами и кубическими метрами.

Расчёты связаны с практическими измерениями: массу находят на весах, а объём жидкости — мензуркой. Объём твёрдого тела правильной формы вычисляют по размерам. Для тела неправильной формы используют вытеснение воды или формулу V = m/ρ.

Плотность понадобится при определении вещества тела и решении задач на плавание. Она также связана с изучением давления жидкостей, поскольку масса и объём жидкости влияют на её свойства. Поэтому умение работать с плотностью пригодится в следующих темах физики.

Что запомнить

• Плотность показывает, какая масса вещества содержится в единице объёма.
• Основная формула: ρ = m/V.
• Масса вычисляется по формуле m = ρV.
• Объём вычисляется по формуле V = m/ρ.
• Вычисления проводят в согласованных единицах измерения.
• Объём прямоугольного тела равен произведению его длины, ширины и высоты.