§ 17. Давление и средняя кинетическая энергия молекул

Определения и обозначения

Давление газа — физическая величина, равная силе действия газа на единицу площади поверхности. Давление обозначают p, а его единица СИ — паскаль (Па). Оно показывает, насколько сильно газ воздействует на стенки сосуда или другую поверхность, поэтому помогает сравнивать воздействие газов при разных условиях.

Средняя кинетическая энергия молекул — среднее значение кинетической энергии хаотически движущихся молекул газа. Её обозначают Eср и измеряют в джоулях (Дж). Скорости отдельных молекул различаются, поэтому средняя энергия описывает движение газа в целом, а не какой-то одной молекулы.

Концентрация молекул — число молекул в единице объёма газа. Её обозначают n, а в СИ измеряют в м⁻³. Концентрация показывает, сколько молекул приходится на выбранный объём; она нужна, чтобы учитывать, как часто молекулы могут ударяться о стенки.

Абсолютная температура — температура, измеряемая по шкале Кельвина и связанная со средней кинетической энергией молекул. Её обозначают T, единица измерения — кельвин (К). Эта величина позволяет сравнивать тепловое движение молекул и используется в формулах для газа; температуру в градусах Цельсия подставлять вместо неё нельзя.

Как это устроено

Молекулы газа находятся в непрерывном хаотическом движении и время от времени сталкиваются со стенками сосуда. При столкновении меняется импульс молекулы, то есть характеристика её движения, связанная с массой и скоростью. Молекула передаёт стенке часть импульса, а стенка испытывает силу; множество ударов в секунду создаёт давление. Хотя направления движения молекул беспорядочны, они ударяются о стенки со всех сторон, поэтому давление действует на каждую стенку.

Если в том же объёме находится больше молекул, до стенки за одинаковое время обычно долетает больше частиц. Значит, увеличивается число ударов, а вместе с ним и суммарное воздействие газа. Если же возрастает средняя кинетическая энергия, молекулы в среднем движутся быстрее и сильнее меняют импульс при ударах. Поэтому при прочих равных условиях и увеличение концентрации, и увеличение средней энергии повышают давление.

Эти рассуждения выражает формула p = ⅔ n·Eср. Здесь p — давление газа, n — концентрация молекул, а Eср — их средняя кинетическая энергия. Множитель ⅔ появляется при учёте хаотического движения молекул по всем направлениям, а не только к одной стенке. Формула показывает: если одна из величин n или Eср возрастает в несколько раз, а другая не меняется, давление возрастает во столько же раз.

При постоянном объёме и неизменном числе молекул концентрация не меняется, потому что число частиц в том же объёме остаётся прежним. Если газ нагреть, его молекулы в среднем получают больше кинетической энергии. Они сильнее воздействуют на стенки, поэтому давление возрастает. Это объясняет, почему в закрытом жёстком сосуде нагревание газа приводит к увеличению давления.

Для идеального газа средняя кинетическая энергия молекул выражается формулой Eср = ³⁄₂ kT, где k — постоянная Больцмана, а T — абсолютная температура в кельвинах. Следовательно, при повышении температуры увеличивается и средняя энергия молекул. Если подставить эту связь в формулу давления, получится p = nkT. Так видно, что при неизменной концентрации давление прямо пропорционально абсолютной температуре.

Величины, характеризующие давление газа и движение его молекул

Таблица помогает выбрать формулу по тем величинам, которые известны в задаче, и проверить единицы измерения. Сначала уточни, что именно нужно найти, а затем вырази эту величину из подходящей связи. Обрати внимание: для применения формул с температурой T значение должно быть задано в кельвинах.

Разбор задач

Задача 1

Концентрация молекул газа равна 3·10²⁵ м⁻³, а средняя кинетическая энергия молекулы — 6·10⁻²¹ Дж. Нужно определить давление газа. Известны обе величины, входящие в формулу p = ⅔ n·Eср, поэтому достаточно подставить их в единицах СИ. В результате получим давление в паскалях.

1. Записываем формулу: p = ⅔ n·Eср.
2. Подставляем значения: p = ⅔ · 3·10²⁵ · 6·10⁻²¹.
3. Вычисляем: 3·6 = 18, а 10²⁵·10⁻²¹ = 10⁴. Тогда p = ⅔ · 18·10⁴ = 12·10⁴ Па = 1,2·10⁵ Па.

Полученное значение положительное, а единица измерения — паскаль, что подходит для давления. Проверка степеней показывает, что итог имеет порядок 10⁵ Па. Ответ: давление газа равно 1,2·10⁵ Па.

Задача 2

Давление газа равно 1,0·10⁵ Па, концентрация молекул — 2,5·10²⁵ м⁻³. Требуется найти среднюю кинетическую энергию молекул и абсолютную температуру. Сначала из формулы давления выразим Eср, а затем воспользуемся связью энергии с температурой. Постоянная Больцмана k = 1,38·10⁻²³ Дж/К.

1. Из p = ⅔ n·Eср получаем Eср = 3p/(2n).
2. Подставляем: Eср = 3·1,0·10⁵/(2·2,5·10²⁵) = 6,0·10⁻²¹ Дж.
3. Из Eср = ³⁄₂ kT выражаем температуру: T = 2Eср/(3k).
4. Подставляем: T = 2·6,0·10⁻²¹/(3·1,38·10⁻²³) ≈ 290 К.

Сначала мы нашли энергию одной молекулы в среднем, а не полную энергию всех молекул. Температура получилась в кельвинах, потому что в формуле использована постоянная k в единицах Дж/К. Ответ: Eср = 6,0·10⁻²¹ Дж, T ≈ 290 К.

Задача 3

В сосуде концентрация молекул увеличилась в 1,5 раза, а средняя кинетическая энергия — в 2 раза. Нужно выяснить, как изменилось давление. По формуле p = ⅔ n·Eср давление пропорционально произведению концентрации и средней энергии. Поэтому при сравнении двух состояний можно перемножить коэффициенты изменения этих величин.

1. Записываем отношение давлений: p₂/p₁ = (n₂/n₁)(E₂/E₁).
2. Подставляем коэффициенты: p₂/p₁ = 1,5·2.
3. Вычисляем: p₂/p₁ = 3.

Обе величины увеличились, поэтому давление тоже должно увеличиться, а не уменьшиться. Коэффициент 3 означает, что новое давление втрое больше начального. Ответ: давление увеличилось в 3 раза.

Типичные ошибки

Нельзя отождествлять среднюю кинетическую энергию молекул со средней скоростью. Кинетическая энергия зависит от квадрата скорости, поэтому среднее значение энергии не находится простой заменой скорости на её среднее значение. Проверь себя: в формуле Eк = mv²/2 скорость возведена в квадрат.

Иногда кажется, что давление создают молекулы, летящие только в одном направлении. Но движение хаотическое, и молекулы ударяются о все стенки сосуда; удары в разных направлениях не отменяют воздействия на отдельную стенку. Для проверки представь закрытый сосуд: его стенки со всех сторон испытывают давление.

В формулах Eср = ³⁄₂ kT и p = nkT используют кельвины, а не градусы Цельсия. Ошибка возникает, когда подставляют показание обычного термометра без перевода: ноль шкалы Цельсия не совпадает с абсолютным нулём. Проверь обозначение единицы: температура T должна быть записана в К.

При использовании p = ⅔ n·Eср можно потерять множитель ⅔ или принять концентрацию n за общее число молекул. Множитель учитывает хаотическое движение по направлениям, а концентрация — число молекул именно в единице объёма. Проверяй запись формулы и единицу n: это м⁻³, тогда как число молекул само по себе не имеет единицы.

Связь с другими темами

Чтобы понять молекулярное объяснение давления, нужно знать, что вещество состоит из молекул и что они движутся хаотически. Также пригодятся понятия силы и давления, импульса, работы и кинетической энергии. Эти знания связывают наблюдаемое действие газа на стенки с движением частиц, которое непосредственно увидеть нельзя.

Формулы для давления и средней энергии подготавливают к изучению уравнения состояния идеального газа и газовых законов. Связь температуры с движением молекул помогает объяснять нагревание и охлаждение, а также другие тепловые процессы. Поэтому одна и та же модель позволяет рассматривать и свойства газа, и изменения его состояния.

Что запомнить

• Давление газа создаётся ударами молекул о стенки сосуда.
• Давление зависит от концентрации молекул и их средней кинетической энергии.
• Основная связь: p = ⅔ n·Eср.
• Средняя кинетическая энергия молекул пропорциональна абсолютной температуре.
• При неизменной концентрации повышение температуры увеличивает давление.
• В формулах молекулярно-кинетической теории температуру выражают в кельвинах.