§ 30. Однородное электрическое поле. Работа сил однородного электрического поля

Определения и обозначения

Однородное электрическое поле — поле, в каждой точке которого напряжённость одинакова по модулю и направлению. Его удобно представлять как одинаковое воздействие на заряды в любой точке рассматриваемой области. Такую модель используют, например, при расчётах поля между пластинами.

Напряжённость электрического поля — векторная величина, равная отношению силы, действующей на положительный пробный заряд, к его заряду: E = F/q. Она показывает, насколько сильное воздействие испытывает единица положительного заряда. По направлению E совпадает с силой, действующей на положительный заряд.

Работа сил электрического поля — энергия, переданная зарядом при перемещении под действием электрической силы: A = Fs cos α. Здесь F — сила, s — перемещение, α — угол между ними. Эта формула помогает учитывать не только величину силы и путь, но и направление движения.

Разность потенциалов — величина, связывающая работу поля и перемещение заряда: U = A/q; в однородном поле при перемещении вдоль поля U = Ed. Она показывает, какая работа приходится на единицу заряда. В этих формулах q измеряется в кулонах, A — в джоулях, U — в вольтах, E — в Н/Кл.

Как это устроено

Между двумя параллельными пластинами, заряженными противоположно, поля от их зарядов складываются внутри промежутка. В средней части промежутка влияние краёв мало, поэтому результирующее поле почти одинаково в разных точках. Силовые линии там параллельны: направление напряжённости не меняется. Их одинаковая густота показывает, что не меняется и величина напряжённости.

Напряжённость описывает силу на единицу положительного заряда. Если E везде одно и то же, то для одного и того же заряда q произведение F = qE также постоянно. Значит, и модуль силы, и её направление сохраняются при перемещении заряда в однородном поле. Для разных зарядов сила будет различной по величине, но её направление определяется знаком заряда.

Направление поля принято задавать так, как двигался бы положительный пробный заряд. Поэтому положительный заряд испытывает силу по полю, а отрицательный — против него. Это следует из направления электрического взаимодействия: сила на заряд меняет направление при смене знака q. При расчётах работы знак заряда нельзя заменять его модулем, если нужно получить не только величину, но и знак результата.

При перемещении вдоль силовых линий сила и перемещение сонаправлены для положительного заряда, поэтому A = Fs. Подставляя F = qE, получаем A = qEd. Если перемещение образует угол α с направлением поля, вдоль поля направлена только его составляющая s cos α. Поэтому в общем случае A = qEs cos α: боковая составляющая перемещения не даёт вклада в работу.

Поле совершает работу, связанную с начальным и конечным положениями заряда, а не с тем, каким извилистым путём он туда попал. В однородном поле это видно из формулы: важна проекция общего перемещения на направление поля. При одинаковых начальной и конечной точках эта проекция одинакова, даже если траектории различаются. Следовательно, работа такого поля не зависит от формы траектории.

Основные величины и зависимости однородного электрического поля

Сначала определите, какие величины известны, и выберите соответствующую строку. Для работы при угловом перемещении проверьте, что угол отсчитывается от направления поля; знак заряда учитывайте отдельно. Перед подстановкой переведите все данные в единицы СИ.

Разбор задач

В каждой задаче сначала определим, как направлено перемещение относительно поля и каков знак заряда. Затем выберем формулу и переведём величины в основные единицы. Так можно проверить и знак, и размерность ответа.

Задача 1

Заряд 3 мКл перемещается на 0,4 м вдоль силовых линий однородного поля с напряжённостью 200 Н/Кл. Найдите работу поля. Положительный заряд при таком движении перемещается по силе, значит, работа будет положительной.

1. Переведём заряд: q = 3 мКл = 0,003 Кл; расстояние d = 0,4 м.
2. Используем A = qEd: A = 0,003 · 200 · 0,4 = 0,24 Дж.
3. Проверим знак: заряд положительный, перемещение вдоль поля, поэтому работа положительна.

Ответ: 0,24 Дж.

Задача 2

Отрицательный заряд 2 мКл перемещается на 0,5 м по направлению силовых линий поля напряжённостью 400 Н/Кл. Требуется определить работу поля и объяснить её знак. Здесь важно не считать, что направление поля всегда совпадает с направлением силы.

1. Запишем заряд со знаком: q = −2 мКл = −0,002 Кл; d = 0,5 м.
2. Подставим в формулу A = qEd: A = −0,002 · 400 · 0,5 = −0,4 Дж.
3. Отрицательный заряд испытывает силу против поля, а движется по полю. Сила направлена против перемещения, поэтому работа отрицательна.

Ответ: −0,4 Дж.

Задача 3

Заряд 5 мкКл перемещается на 0,3 м в поле напряжённостью 600 Н/Кл под углом 60° к силовым линиям. Найдите работу поля. Учитывать нужно только часть перемещения вдоль поля, а не весь путь.

1. Переведём заряд: q = 5 мкКл = 0,000005 Кл; s = 0,3 м.
2. Используем A = qEs cos α: A = 0,000005 · 600 · 0,3 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = 0,5, получаем A = 0,00045 Дж. Положительный знак следует из положительного заряда и острого угла.

Ответ: 0,00045 Дж.

Типичные ошибки

Ошибка: считать однородным любое поле с параллельными силовыми линиями. Параллельность показывает только одинаковое направление, а для однородности требуется ещё и одинаковая густота линий, то есть постоянная напряжённость. Так ошибаются, когда смотрят только на направление стрелок. Проверка: убедитесь, что линии не сближаются и не расходятся.

Ошибка: применять A = qEs, не учитывая угол между полем и перемещением. Формула без косинуса подходит лишь для движения вдоль поля; при другом направлении работа определяется проекцией перемещения. Проверка: обозначьте угол α и используйте A = qEs cos α. Если угол 90°, результат обязан быть нулевым.

Ошибка: забывать, что на отрицательный заряд сила направлена против поля. Из-за этого можно неверно выбрать направление силы и знак работы. Проверка: сначала нарисуйте направление E, затем разверните стрелку силы для отрицательного заряда и сравните её с перемещением. Если сила и перемещение направлены навстречу, работа отрицательна.

Ошибка: записывать только модуль работы, не анализируя знак. Модуль показывает величину, но не сообщает, помогает ли сила движению или препятствует ему; особенно легко упустить это для отрицательного заряда. Проверка: сравните направления силы и перемещения до подстановки. При сонаправленных векторах работа положительна, при противоположных — отрицательна.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия электрического заряда, электрической силы и напряжённости, а также умение задавать направление вектора. Работа поля рассчитывается по знакомой формуле механической работы постоянной силы A = Fs cos α. Поэтому навыки из механики помогают понять, откуда в электрической формуле появляется косинус угла и почему важна проекция перемещения.

Эти знания пригодятся при изучении потенциала и напряжения: разность потенциалов связывает работу с зарядом. Они также помогают описывать движение заряженных частиц и изменения энергии в электрическом поле. Соотношение U = Ed связывает напряжённость с разностью потенциалов и расстоянием вдоль поля.

Что запомнить

• В однородном поле напряжённость одинакова по модулю и направлению во всех точках.
• Силовые линии однородного поля параллельны и расположены с одинаковой густотой.
• На положительный заряд сила действует по направлению поля, на отрицательный — против поля.
• Работа поля определяется формулой A = qEs cos α.
• При перемещении вдоль поля работа равна A = qEd.
• При перемещении перпендикулярно полю работа электрического поля равна нулю.
• В однородном поле разность потенциалов связана с напряжённостью соотношением U = Ed.