"Физика", Изергин Э.Т.
Движение жидкости и газа можно описывать с помощью закона сохранения механической энергии. Для идеального стационарного потока сумма энергии давления, кинетической энергии движения и потенциальной энергии остаётся постоянной вдоль линии тока. Это позволяет объяснить, почему в узкой трубе поток ускоряется, давление падает, а жидкость вытекает из отверстия со скоростью, зависящей от высоты столба жидкости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальная жидкость — модель жидкости без вязкости и внутренних потерь энергии. В такой модели механическая энергия потока не превращается во внутреннюю энергию из-за трения. Это упрощение позволяет применять закон сохранения механической энергии в чистом виде.
Стационарное течение — течение, при котором скорость и давление в каждой точке не изменяются со временем. Частицы жидкости могут перемещаться, но характеристики потока в выбранном месте остаются постоянными. Такое условие нужно, чтобы сравнивать энергию потока в разных сечениях.
Линия тока — линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости частиц жидкости или газа. Она показывает, куда в данный момент движется поток. Уравнение Бернулли обычно применяют вдоль одной линии тока.
Уравнение Бернулли — запись закона сохранения механической энергии для установившегося движения идеальной жидкости или газа: p + ρv²/2 + ρgh = const. Здесь p — давление, ρ — плотность, v — скорость, g — ускорение свободного падения, h — высота. Формула связывает давление, скорость движения и положение потока.
Рассмотрим мысленно участок жидкости, который перемещается внутри трубы. Давление сзади толкает его вперёд, а давление спереди препятствует движению, поэтому силы давления совершают работу. Эта работа может увеличить кинетическую энергию участка, поднять его на большую высоту или компенсировать уменьшение энергии в другой форме.
В уравнении Бернулли складываются три величины, рассчитанные на единицу объёма вещества. Величина p связана с работой сил давления, ρv²/2 — с энергией движения, а ρgh — с энергией положения в поле тяжести. Если потерь нет, уменьшение одного слагаемого сопровождается увеличением другого или двух остальных.
Уравнение Бернулли записывают для точек, лежащих на одной линии тока, потому что именно вдоль такого пути можно проследить движение одних и тех же частиц потока. Для его применения течение должно быть стационарным, а жидкость или газ — достаточно близкими к идеальным. При сильной вязкости, завихрениях или насосах между точками появляются дополнительные потери или приток энергии.
В горизонтальной трубе высота не меняется, поэтому слагаемое ρgh одинаково и его можно сократить. Тогда p + ρv²/2 = const: если поток ускоряется, его кинетическая энергия возрастает за счёт энергии давления. Поэтому в узкой части трубы давление ниже, а в широкой части при меньшей скорости оно выше.
Из уравнения Бернулли получают несколько полезных следствий. Для отверстия в баке оно приводит к формуле Торричелли v = √(2gh), для трубы объясняет действие сужения, а для газа помогает описывать движение воздуха и работу устройств, где скорость потока связана с перепадом давления.
| Составляющая | Формула на единицу объёма | От чего зависит | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| Энергия давления | p | От давления жидкости или газа | Работа сил давления при перемещении объёма вещества |
| Кинетическая энергия потока | ρv²/2 | От плотности и скорости движения | Энергия движения жидкости или газа |
| Потенциальная энергия в поле тяжести | ρgh | От плотности, ускорения свободного падения и высоты | Энергия положения потока |
| Полная механическая энергия потока | p + ρv²/2 + ρgh | От состояния потока и его положения | Остаётся постоянной вдоль линии тока при идеальном течении |
Таблица помогает увидеть, какое слагаемое изменяется при конкретном движении. Сначала определите, меняются ли высота, скорость или давление, а затем сравните соответствующие величины. Если поток идеальный, их сумма в выбранных точках должна быть одинаковой.
В широкой части трубы вода движется со скоростью 2 м/с, а в узкой — 6 м/с. Давление в широкой части равно 200 кПа, плотность воды — 1000 кг/м³. Нужно найти давление в узком участке, причём труба горизонтальная.
Ответ: давление в узком участке равно 184 кПа. Оно уменьшилось на 16 кПа, потому что скорость потока выросла.
Уровень воды в открытом баке находится на 1,25 м выше небольшого отверстия в стенке. Давление воздуха над водой и у отверстия одинаково, поэтому им можно пренебречь. Найдём скорость истечения воды.
Ответ: вода вытекает со скоростью примерно 5 м/с. Чем больше разность высот, тем больше скорость истечения.
Диаметр широкого участка трубы равен 4 см, узкого — 2 см. В широкой части вода движется со скоростью 1 м/с, а давление равно 220 кПа. Требуется найти скорость и давление в узком участке.
Ответ: в узком участке скорость равна 4 м/с, а давление — 212,5 кПа. Сначала скорость нашли по площади сечения, затем давление — по уравнению Бернулли.
Некоторые считают, что рост скорости обязательно повышает давление. Так бывает не во всех ситуациях, но для горизонтального идеального потока величины изменяются противоположно. Проверьте себя по формуле: если v²/2 увеличилось, p должно уменьшиться.
Другая ошибка — не учитывать высоту участков трубы. Слагаемое ρgh нельзя сокращать, если точки находятся на разных уровнях. Перед решением сравните высоты и оставьте этот член в уравнении, если они различаются.
Иногда вместо скоростей в уравнение Бернулли подставляют площади сечений или считают скорость обратно пропорциональной диаметру. Правильная связь сначала устанавливается законом неразрывности S₁v₁ = S₂v₂. Помните, что для круглой трубы площадь пропорциональна d².
Уравнение Бернулли без оговорок применяют к вязкой жидкости, хотя трение вызывает потери энергии. В школьных задачах воду часто считают идеальной моделью, если это разрешено условием. Если сопротивление, длинная труба или насос существенно влияют на движение, результат будет только приближённым.
Для понимания темы нужны закон сохранения механической энергии, формулы кинетической и потенциальной энергии, понятия давления и плотности, а также работа силы. Эти знания объясняют происхождение каждого слагаемого уравнения Бернулли.
Полезно повторить закон неразрывности потока и связь скорости с площадью сечения трубы. Именно эта связь показывает, почему жидкость ускоряется в сужении, после чего уравнение Бернулли позволяет найти изменение давления.
Знания применяют при объяснении работы пульверизатора, водопровода, труб Вентури, насосов и движения воздуха вокруг крыла. Во всех случаях сравнивают давление, скорость и высоту разных участков потока.
Почему в узкой части трубы жидкость движется быстрее?
При стационарном течении через каждое сечение трубы за одинаковое время проходит один и тот же объём жидкости. Поэтому при уменьшении площади сечения скорость должна увеличиться: S₁v₁ = S₂v₂.
Почему при увеличении скорости потока давление уменьшается?
В горизонтальной трубе сумма p + ρv²/2 постоянна. Если кинетическая энергия единицы объёма увеличивается из-за роста скорости, энергия давления и само давление уменьшаются.
Можно ли применять уравнение Бернулли к обычной воде и воздуху?
Да, но обычно это приближённая модель. Воду и воздух считают идеальными, если вязкость и потери энергии невелики по сравнению с рассматриваемыми величинами.
Зачем в уравнении Бернулли учитывать высоту потока?
На разной высоте поток обладает разной потенциальной энергией в поле тяжести. Поэтому при подъёме жидкости часть энергии давления или движения превращается в потенциальную энергию.
Как связаны уравнение Бернулли и формула скорости истечения из отверстия?
Для поверхности жидкости и отверстия записывают уравнение Бернулли. Если давления одинаковы, а скорость опускания поверхности мала, оно приводит к формуле Торричелли: v = √(2gh).
§ 19. Применение закона сохранения механической энергии к движению жидкости и газа
