§ 40. Нахождение ускорения силы тяжести и первой космической скорости

Определения и обозначения

Ускорение свободного падения g — ускорение тела, на которое действует только сила тяжести. У поверхности Земли оно направлено вниз, к центру планеты, и составляет примерно 9,8 м/с². Эта величина показывает, как быстро меняется скорость свободно падающего тела.

Математический маятник — модель тела, подвешенного на невесомой нерастяжимой нити. В опыте маятник помогает определить g: измеряют длину нити и время колебаний. Модель упрощает расчёт, потому что позволяет не учитывать массу нити и её растяжение.

Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость возле поверхности Земли, при которой тело становится искусственным спутником и движется по круговой орбите. Она нужна не для вертикального подъёма, а для постоянного движения вокруг планеты. Для Земли её значение приблизительно равно 7,9 км/с.

Круговая орбита — траектория в форме окружности вокруг небесного тела. На ней сила тяжести сообщает спутнику центростремительное ускорение, то есть всё время меняет направление его скорости. Поэтому спутник движется по окружности, а не по прямой.

Как это устроено

Когда маятник отклоняют и отпускают, он совершает колебания под действием силы тяжести. Для небольших отклонений период T зависит от длины нити l и ускорения свободного падения g: T = 2π√(l/g). Чем длиннее маятник, тем медленнее он колеблется; при большем g колебания, наоборот, происходят быстрее. Если возвести формулу в квадрат и выразить g, получится g = 4π²l/T².

Период одного колебания трудно измерить точно, потому что ошибка реакции при работе с секундомером может оказаться заметной частью короткого времени. Поэтому измеряют время t для нескольких полных колебаний N, а затем находят T = t/N. Например, если 20 колебаний заняли 20 секунд, период равен 1 секунде. Подставив длину маятника и полученный период в формулу g = 4π²l/T², вычисляют ускорение; важно использовать метры и секунды.

У поверхности Земли g считают приблизительно постоянным, потому что в пределах обычного опыта высота над планетой очень мала по сравнению с её радиусом. Но Земля вращается и немного сплюснута у полюсов, поэтому расстояние до центра и влияние вращения зависят от места. С высотой расстояние до центра Земли растёт, а притяжение ослабевает. Значит, измеренное g слегка меняется и с высотой, и с географической широтой.

Спутник на круговой орбите не перестаёт притягиваться к Земле: он всё время свободно падает к ней. Однако у него есть большая горизонтальная скорость, поэтому за время падения он успевает переместиться вперёд. Из-за кривизны Земли её поверхность тоже уходит вниз, и спутник не сталкивается с ней. Сила тяжести при этом поворачивает скорость и создаёт центростремительное ускорение.

Для спутника у поверхности Земли сила тяжести равна Fтяж = mg, а необходимая для кругового движения центростремительная сила равна Fц = mv²/R. Приравняем их: mg = mv²/R; масса спутника сокращается, и после преобразования получаем v₁ = √(gR). Радиус R входит в формулу, потому что спутник движется по окружности вокруг центра Земли, а не по поверхности. На орбите выше поверхности вместо R нужно брать расстояние от центра Земли до спутника — R + h.

Основные величины и формулы параграфа

Сначала определите, какие величины известны и в каких единицах они заданы. Для маятника найдите период одного колебания, а для спутника подставляйте радиус орбиты в метрах. По единице результата можно проверить, подходит ли выбранная формула.

Разбор задач

Задача 1. Найти ускорение свободного падения

Маятник длиной 0,25 м совершил 20 колебаний за 20 с. Требуется найти g. Сначала узнаем период одного колебания: измеренное время относится ко всем двадцати колебаниям. Затем используем формулу для g, подставляя длину в метрах и период в секундах.

1. Находим период: T = t/N = 20 с/20 = 1 с. Это время одного полного колебания, а не всей серии.

2. Подставляем данные в формулу: g = 4π²l/T² = 4π²·0,25/1². Так как 4·0,25 = 1, получаем g = π² м/с².

3. Вычисляем и округляем: π² ≈ 9,87, значит g ≈ 9,9 м/с². Результат близок к табличному значению у поверхности Земли.

Ответ: g ≈ 9,9 м/с².

Задача 2. Найти первую космическую скорость

Дано: g = 9,8 м/с², радиус Земли R = 6,4·10⁶ м. Требуется определить скорость спутника на круговой орбите у поверхности Земли. Используем v₁ = √(gR), где радиус должен быть выражен в метрах. Полученный ответ в метрах в секунду переведём в километры в секунду.

1. Записываем формулу: v₁ = √(gR). Размерности согласованы: ускорение дано в м/с², радиус — в м.

2. Подставляем значения: v₁ = √(9,8·6,4·10⁶) м/с ≈ √(6,272·10⁷) м/с. Корень равен примерно 7,92·10³ м/с.

3. Переводим в километры в секунду: 7,92·10³ м/с = 7,92 км/с. Округляем до десятых.

Ответ: v₁ ≈ 7,9 км/с.

Задача 3. Сравнить скорости на разных орбитах

Нужно сравнить скорость спутника у поверхности Земли и на высоте h. Для высотной орбиты расстояние до центра Земли равно R + h, поэтому применять формулу с одним только радиусом R нельзя. По закону всемирного тяготения ускорение, создаваемое Землёй на таком расстоянии, равно GM/(R+h)². Совместив это ускорение с условием кругового движения, получаем скорость v = √(GM/(R+h)).

1. У поверхности используем v₁ = √(GM/R), или равносильную формулу v₁ = √(gR). Это исходная скорость для сравнения.

2. На высоте h вычисляем v = √(GM/(R+h)). При положительной высоте знаменатель больше, поэтому скорость для круговой орбиты меньше.

3. Если нужно найти численное отношение, делим формулы: v/v₁ = √(R/(R+h)). Без заданной высоты можно сделать вывод только о направлении изменения, а не о точной разнице.

Ответ: на круговой орбите выше поверхности скорость меньше; для вычисления используют радиус R + h.

Типичные ошибки

• Подстановка времени всех колебаний вместо периода. Так поступают, если забывают, что формула маятника требует время одного колебания. Разделите общее время на число колебаний: T = t/N. Проверьте себя: в условии формулы должен стоять период, а не длительность всей серии.

• Неверно определяют длину маятника. Длина — это не обязательно длина нити до верхней части груза и не высота груза над полом. Измеряют расстояние от точки подвеса до центра тяжести груза. Проверьте, что конец измерения находится примерно в середине груза.

• Оставляют радиус Земли в километрах. Это часто происходит, когда радиус сразу подставляют в формулу вместе с g в СИ. Переведите километры в метры: 1 км = 1000 м. Проверка: при g в м/с² и R в метрах скорость получится в м/с.

• Считают первую космическую скорость вертикальной скоростью запуска. Путаница возникает из-за слова «космическая», но эта скорость описывает движение по орбите. Она направлена горизонтально и нужна, чтобы тело огибало Землю. Проверьте себя: в задаче о круговой орбите скорость относится к движению вокруг планеты, а не вверх от неё.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о свободном падении, силе тяжести и втором законе Ньютона, а также о периоде колебаний и центростремительном ускорении. Аккуратный перевод величин в единицы СИ помогает не допустить ошибок в расчётах. Формулы маятника показывают, как опытным путём найти g, а формулы орбит — как применить его к движению спутников. Эти знания используют при расчётах движения космических аппаратов и сравнении условий на разных небесных телах. Далее они помогают изучать вторую космическую скорость, движение планет и закон всемирного тяготения.

Что запомнить

• Ускорение свободного падения у поверхности Земли примерно равно 9,8 м/с².

• Для математического маятника T = 2π√(l/g).

• Ускорение свободного падения по маятнику находят по формуле g = 4π²l/T².

• Чем больше длина маятника, тем больше период его колебаний.

• Первая космическая скорость обеспечивает движение тела по круговой орбите у поверхности Земли.

• Первая космическая скорость определяется формулой v₁ = √(gR) и приблизительно равна 7,9 км/с.

• При движении спутника сила тяжести играет роль центростремительной силы.