"Физика", Изергин Э.Т.
Положение и движение тела описывают относительно выбранного тела отсчёта. Чтобы задавать координаты и измерять время, к нему добавляют систему координат и часы — вместе они образуют систему отсчёта. Вектор показывает не только величину, но и направление перемещения, скорости или силы. Складывая векторы по правилам треугольника или параллелограмма, находят общий результат с учётом направлений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тело отсчёта — это тело, относительно которого рассматривают положение и движение других тел. Например, положение пассажира можно описать относительно автобуса или дороги, и результаты будут разными. Выбор тела отсчёта нужен, чтобы однозначно сказать, где находится тело и перемещается ли оно.
Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени, например часы. Координаты позволяют записать положение тела числами, а часы — указать, когда именно оно находилось в этом месте. Без этих дополнений одного тела отсчёта недостаточно для точного описания движения.
Вектор — направленный отрезок, который характеризуется модулем, то есть длиной, и направлением. Так изображают величины, для которых важны оба свойства, например перемещение. Скалярные величины задаются числовым значением без направления: к ним относится, например, время.
Сложение векторов — это операция, при которой нескольким векторам ставят в соответствие один вектор-сумму. Он показывает общий результат их совместного действия, например полное перемещение после нескольких участков пути. Сумма сама является вектором, поэтому у неё также есть модуль и направление.
Описать движение без выбора тела отсчёта нельзя, потому что слова «движется» и «покоится» имеют смысл только по отношению к чему-либо. Пассажир сидит на месте относительно салона автобуса, но меняет положение относительно домов за окном. Разные ответы не противоречат друг другу: просто движение рассматривается в разных системах отсчёта. Поэтому сначала выбирают тело, относительно которого будут сравнивать положения.
Одного выбранного тела недостаточно, чтобы удобно записать положение и проследить его изменение. К телу отсчёта мысленно привязывают координатные оси: тогда положение можно задать координатами относительно начала и направлений осей. Часы нужны, чтобы отмечать моменты времени и сравнивать, как меняются координаты. Вместе тело, координаты и часы образуют систему отсчёта, которая даёт полный способ описывать движение.
Чтобы сложить два вектора по правилу треугольника, конец первого совмещают с началом второго, не меняя длину и направление векторов. Затем проводят вектор от начала первого к концу второго: это и есть сумма. Такое построение соответствует последовательному перемещению: сначала выполняют первое, затем второе. Поэтому итоговый вектор соединяет начальное положение с конечным.
Правило параллелограмма удобно, когда оба вектора имеют общее начало. Через конец каждого проводят прямую, параллельную другому вектору, и получают параллелограмм; его диагональ из общего начала является суммой. Если перенести второй вектор к концу первого, получится построение по правилу треугольника. Диагональ соединяет ту же начальную и конечную точки, поэтому оба правила дают один результат.
Когда векторы лежат на одной прямой и направлены одинаково, общий результат направлен туда же, а модули складываются. Если направления противоположны, действие одного вектора частично компенсирует действие другого: модуль суммы равен разности модулей, а направление совпадает с направлением большего вектора. При векторах под углом нельзя просто сложить их длины: результат находят геометрическим построением. Для перпендикулярных векторов его модуль можно вычислить по теореме Пифагора.
| Случай | Построение | Модуль суммы | Направление суммы |
|---|---|---|---|
| Сонаправленные векторы | На одной прямой, стрелки в одну сторону | Сумма модулей | Совпадает с направлением векторов |
| Противоположно направленные векторы | На одной прямой, стрелки в разные стороны | Разность модулей | В сторону вектора с большим модулем |
| Векторы под углом друг к другу | Правило треугольника или параллелограмма | Определяют по построению; для прямого угла — по теореме Пифагора | От общего начала к вершине параллелограмма |
Сначала определите, как расположены векторы: на одной прямой или под углом. Затем выберите подходящее построение и отдельно установите направление результата. Арифметически складывать модули можно только для сонаправленных векторов.
На прямой тело переместилось сначала на 4 м вправо, затем на 3 м вправо. Нужно найти модуль и направление результирующего перемещения. Оба перемещения сонаправлены, поэтому можно сложить их модули. Направление общего перемещения будет таким же, как у каждого отдельного.
Ответ: модуль результирующего перемещения — 7 м, направление — вправо.
Пешеход прошёл 3 км на восток, затем 4 км на север. Эти направления перпендикулярны, поэтому вектор перемещения можно построить как диагональ прямоугольного треугольника. Модули сторон равны 3 км и 4 км, а модуль диагонали находим по теореме Пифагора. Для изображения нужно провести первый вектор на восток, от его конца — второй на север, а сумму направить от начальной точки к конечной.
Ответ: перемещение равно 5 км; его вектор направлен на северо-восток.
Лодка движется относительно воды со скоростью 4 м/с на север, а течение направлено на восток со скоростью 3 м/с. Скорость относительно берега складывается из этих двух скоростей: лодка одновременно переносится течением и движется относительно воды. Векторы взаимно перпендикулярны, поэтому диагональ параллелограмма задаёт скорость лодки относительно берега. Её направление окажется между севером и востоком, причём ближе к северу, потому что северная составляющая больше.
Ответ: скорость лодки относительно берега равна 5 м/с и направлена на северо-восток, ближе к северу.
Первая ошибка — считать, что движение можно описать без выбора тела отсчёта. Её допускают, потому что в обычной речи часто не называют, относительно чего движется объект. Проверьте себя вопросом: «По отношению к какому телу меняется положение?» Если ответ не указан, описание неполное.
Вторая ошибка — путать тело отсчёта с системой отсчёта. Это происходит из-за того, что в разговоре эти понятия иногда используют как взаимозаменяемые. Проверьте состав: система отсчёта включает тело, координатную систему и часы, а тело отсчёта — только выбранный объект.
Третья ошибка — при построении по правилу треугольника соединять начала векторов. Так можно потерять смысл последовательных перемещений и получить неверное направление суммы. Проверьте построение: начало второго вектора должно стоять у конца первого, а сумма идёт от начала первого к концу второго.
Четвёртая ошибка — складывать модули любых векторов как обычные числа. Так поступают, когда не учитывают, что направления могут быть противоположными или образовывать угол. Перед вычислением сравните направления; для противоположных векторов вычитайте модули, а для векторов под углом сначала постройте сумму.
Для работы с системой отсчёта нужно уметь задавать положение тела относительно начала координат и различать величины с направлением и без него. Координаты помогают записывать положение, а понятия вектора и скаляра — выбирать подходящий способ описания величины. Эти знания используются при изучении механического движения: с их помощью находят перемещение и скорость. То же сложение векторов применяется при рассмотрении сил.
Почему движение тела зависит от выбора тела отсчёта?
Положение тела всегда задают относительно другого тела. Например, пассажир неподвижен относительно автобуса, но движется относительно дороги. Поэтому описание движения может различаться при выборе разных тел отсчёта.
Чем система отсчёта отличается от тела отсчёта?
Тело отсчёта — это объект, относительно которого рассматривают движение. Система отсчёта включает это тело, связанную с ним систему координат и часы для измерения времени.
Как правильно построить сумму двух векторов по правилу треугольника?
Перенесите второй вектор так, чтобы его начало совпало с концом первого, сохранив длину и направление. Вектор-сумма идёт от начала первого вектора к концу второго.
Когда можно просто сложить модули векторов?
Модули складывают, когда векторы сонаправлены, то есть направлены вдоль одной прямой в одну сторону. Если векторы направлены в противоположные стороны, их модули вычитают.
Как определить направление результирующего вектора?
Постройте сумму по правилу треугольника или параллелограмма: направление результата задаёт вектор от общего начала к конечной точке построения. Для противоположно направленных векторов он направлен в сторону большего по модулю вектора.
§ 2. Система отсчёта. Сложение векторов
