§ 42. Нахождение силы тяжести и первой космической скорости

Определения и обозначения

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает тело. У поверхности Земли её модуль находят по формуле Fтяж = mg, где m — масса тела, а g — ускорение свободного падения. Эта формула позволяет вычислить, с какой силой тело давит на опору или растягивает подвес из-за притяжения Земли.

Ускорение свободного падения g — ускорение тела, движущегося только под действием силы тяжести. У поверхности Земли оно приблизительно равно 9,8 м/с². Величина g показывает, насколько изменяется скорость свободно падающего тела за каждую секунду.

Первая космическая скорость — минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её спутником и двигалось по круговой орбите. Для Земли эта скорость примерно равна 7,9 км/с. Понятие нужно, чтобы описывать запуск искусственных спутников.

Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе всемирного тяготения, связывающий массы тел и силу их притяжения. Её значение равно примерно 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². С помощью G можно рассчитывать притяжение планет, спутников и других тел.

Как это устроено

Земля притягивает любое тело, поэтому на тело действует сила тяжести. Направление этой силы проходит к центру Земли, потому что именно туда направлено притяжение всех частей планеты в среднем. Модуль силы определяется произведением массы тела на g: Fтяж = mg, поэтому два тела разной массы испытывают разные силы.

Ускорение свободного падения связано не только с массой падающего тела, но и с параметрами планеты. По закону всемирного тяготения сила притяжения равна GMm/R², где M — масса Земли, R — расстояние до её центра. Приравнивая это выражение к mg и сокращая m, получаем g = GM/R².

Спутник может двигаться по окружности, хотя сила тяжести направлена не по касательной к его пути. Она направлена к центру орбиты и потому изменяет направление скорости, а не только её величину. Такая сила называется центростремительной, поскольку именно она удерживает спутник на круговой траектории.

Для спутника у поверхности Земли сила тяжести равна центростремительной силе: GMm/R² = mv₁²/R. Масса спутника сокращается, потому что при одинаковых условиях орбитальная скорость не зависит от массы самого спутника. После преобразований получается v₁ = √(GM/R) = √(gR).

Формула первой космической скорости относится к круговой орбите, проходящей близко к поверхности планеты. Для Земли при g ≈ 9,8 м/с² и R ≈ 6,4·10⁶ м получается около 7900 м/с, то есть 7,9 км/с. В реальности атмосфера мешает такому движению у самой поверхности, поэтому спутники запускают на высоту.

Сила тяжести и первая космическая скорость

Сначала определите, какую величину требуется найти, а затем выберите соответствующую строку. Перед подстановкой проверьте, что все данные выражены в единицах СИ. По последнему столбцу можно понять, какие параметры изменят результат.

Разбор задач

Задача 1

Найдём силу тяжести, действующую на тело массой 3 кг у поверхности Земли. Ускорение свободного падения равно 9,8 м/с². Нужно получить ответ в ньютонах.

1. Записываем формулу: Fтяж = mg.
2. Подставляем данные: Fтяж = 3 кг · 9,8 м/с².
3. Перемножаем числа и учитываем единицы: Fтяж = 29,4 Н.

Ответ: сила тяжести равна 29,4 Н. Масса тела вошла в расчёт, поэтому для другого тела результат был бы иным.

Задача 2

Масса Земли M = 6,0·10²⁴ кг, радиус R = 6,4·10⁶ м, а G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Требуется найти g по формуле g = GM/R². Все величины уже приведены к единицам СИ.

1. Возводим радиус в квадрат: R² = (6,4·10⁶)² = 4,096·10¹³ м².
2. Подставляем данные: g = (6,67·10⁻¹¹ · 6,0·10²⁴)/(4,096·10¹³).
3. После вычисления получаем g ≈ 9,77 м/с², что соответствует ожидаемому значению около 9,8 м/с².

Ответ: ускорение свободного падения равно примерно 9,8 м/с². Проверка порядка результата показывает, что вычисления выполнены разумно.

Задача 3

Пусть у поверхности планеты g = 9,8 м/с², а радиус R = 6,4·10⁶ м. Найдём первую космическую скорость по формуле v₁ = √(gR). Радиус нужно использовать в метрах, потому что g задано в м/с².

1. Подставляем значения: v₁ = √(9,8 · 6,4·10⁶) м/с.
2. Вычисляем произведение под корнем: 9,8 · 6,4·10⁶ = 6,272·10⁷.
3. Извлекаем корень: v₁ ≈ 7,92·10³ м/с = 7,92 км/с.

Ответ: первая космическая скорость составляет примерно 7,9 км/с. Полученное значение близко к табличному значению для Земли.

Типичные ошибки

Ошибка — считать силу тяжести одинаковой для любых тел. Её допускают, когда путают одинаковое ускорение g с одинаковой силой. Проверьте себя по формуле Fтяж = mg: при изменении массы сила тоже изменяется.

Ошибка — подставлять радиус вместо R² в формулу g = GM/R². Из-за этого результат получается во много раз неверным. Перед вычислением отдельно запишите квадрат радиуса и проверьте его показатель степени.

Ошибка — путать первую космическую скорость со скоростью ухода от планеты. Первая скорость обеспечивает круговую орбиту, а не полное удаление из поля тяготения. Сверьте смысл ответа: тело должно стать спутником, а не покинуть планету.

Ошибка — использовать радиус в километрах вместе с g в м/с². Такие единицы не согласованы, поэтому корень даст неправильное значение. Переведите радиус в метры до подстановки и в конце отдельно переведите м/с в км/с.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны закон всемирного тяготения и формула силы тяжести у поверхности Земли. Они объясняют, откуда берётся выражение g = GM/R² и почему притяжение зависит от параметров планеты. Без этих связей формула первой космической скорости выглядит непонятным готовым правилом.

Вывод скорости опирается на центростремительное ускорение и движение по окружности. Эти понятия показывают, почему сила тяжести не разгоняет спутник по прямой, а искривляет его траекторию. Далее тема используется при изучении движения искусственных спутников и космических аппаратов.

Что запомнить

• Сила тяжести у поверхности Земли равна Fтяж = mg.
• Ускорение свободного падения связано с параметрами Земли соотношением g = GM/R².
• При движении спутника по круговой орбите сила тяжести является центростремительной силой.
• Первая космическая скорость у поверхности планеты равна v₁ = √(gR).
• Для Земли первая космическая скорость составляет примерно 7,9 км/с.
• Первая космическая скорость относится к круговой орбите и не учитывает сопротивление атмосферы.