Лабораторная работа 4. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Определения и обозначения

Математический маятник — небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити, длина которой значительно больше размеров тела. В лабораторной работе его заменяет груз на длинной нити. Такая модель позволяет связать движение груза с длиной маятника и ускорением свободного падения.

Период колебаний — время одного полного колебания маятника. Полным считается движение от одного крайнего положения до другого и обратно. Период обозначают буквой T и находят точнее, если измеряют время сразу нескольких колебаний.

Длина математического маятника — расстояние от точки подвеса до центра тяжести подвешенного тела. Для шарика это расстояние до его центра, а не только длина нити. От правильного измерения l напрямую зависит вычисленное значение ускорения.

Ускорение свободного падения — величина, которую определяют по измеренным длине маятника и периоду его колебаний. Её обозначают буквой g и выражают в м/с². Вблизи поверхности Земли она обычно близка к 9,8 м/с².

Как это устроено

Сначала нить с грузом закрепляют так, чтобы точка подвеса оставалась неподвижной. Длину измеряют от этой точки до центра груза, потому что именно так определяется длина модели математического маятника. Груз отклоняют на небольшой угол и отпускают без дополнительного толчка, чтобы начальное движение соответствовало условиям формулы.

Время нескольких колебаний измеряют для уменьшения относительной ошибки. Запуск и остановка секундомера происходят с задержкой из-за реакции человека, и эта задержка почти не зависит от числа колебаний. Поэтому при делении общего времени t на большое число N её влияние на один период становится меньше.

Для малых колебаний период связан с длиной маятника и ускорением свободного падения формулой T = 2π√(l/g). Из неё видно, что более длинный маятник колеблется медленнее, потому что его период возрастает. Масса груза в эту формулу не входит, поэтому при одинаковой длине разные небольшие грузы имеют примерно один и тот же период.

Чтобы найти ускорение, формулу периода преобразуют: сначала возводят обе части в квадрат, затем выражают g. Получается формула g = 4π²l/T², где l нужно подставлять в метрах, а T — в секундах. После подстановки результат автоматически получается в м/с², если все величины записаны в единицах СИ.

Один опыт может дать случайно завышенное или заниженное значение. Поэтому маятник исследуют при нескольких длинах, каждый раз заново измеряя время и вычисляя период. Полученные значения g сравнивают, а близкие результаты усредняют, чтобы случайные отклонения меньше влияли на итог.

Измерение периода маятника и определение ускорения свободного падения

Сначала в таблицу заносят измеренные l, N и t. Затем для каждой строки вычисляют T = t/N, после чего находят g по формуле g = 4π²l/T².

В последней строке записывают среднее значение ускорения, если результаты опытов достаточно близки. Пустые клетки заполняют только после выполнения соответствующих измерений.

Разбор задач

Задача 1

Маятник длиной 1,00 м совершил 20 колебаний за 40,2 с. Требуется определить период и ускорение свободного падения. Сначала найдём длительность одного колебания, а затем подставим её в формулу для g.

1. Вычислим период: T = t/N = 40,2/20 = 2,01 с.
2. Подставим данные: g = 4π²l/T² = 4 · 3,14² · 1,00/2,01².
3. Выполним вычисление: g ≈ 9,77 м/с².

Ответ: период равен 2,01 с, ускорение свободного падения — примерно 9,77 м/с². Значение близко к табличному, поэтому измерение выглядит правдоподобным.

Задача 2

Для маятника длиной 0,64 м время 30 колебаний составило 15,2 с, а для маятника длиной 1,00 м — 20,1 с. Нужно получить два значения g и их среднее. Каждый опыт обрабатываем отдельно, поскольку у маятников разные длины и периоды.

1. Для первого опыта: T₁ = 15,2/30 ≈ 0,507 с; g₁ = 4π² · 0,64/0,507² ≈ 9,82 м/с².
2. Для второго опыта: T₂ = 20,1/30 = 0,670 с; g₂ = 4π² · 1,00/0,670² ≈ 8,82 м/с².
3. Среднее значение: gср = (9,82 + 8,82)/2 = 9,32 м/с².

Ответ: в опытах получены примерно 9,82 м/с² и 8,82 м/с², среднее равно 9,32 м/с². Сильное расхождение показывает, что второй замер стоит проверить и, возможно, повторить.

Задача 3

В опыте получили g = 9,65 м/с², а табличное значение равно 9,81 м/с². Найдём абсолютную и относительную погрешности результата. Для абсолютной погрешности берём модуль разности, чтобы ответ не зависел от того, завышен результат или занижен.

1. Абсолютная погрешность: Δg = |9,65 − 9,81| = 0,16 м/с².
2. Относительная погрешность в процентах: ε = Δg/9,81 · 100% ≈ 1,63%.

Ответ: абсолютная погрешность составляет 0,16 м/с², относительная — около 1,6%. Экспериментальное значение меньше табличного, но небольшое расхождение возможно для школьного опыта.

Типичные ошибки

Измерение только нити без учёта расстояния до центра груза занижает или завышает длину маятника. Так происходит, потому что точка приложения движения связана с центром тяжести тела, а не с его поверхностью. Проверьте себя: мысленно проведите расстояние от точки подвеса до середины груза.

Большой угол отклонения нарушает условие применимости формулы периода. Ученик может выбрать заметное отклонение, чтобы было легче запускать маятник, но тогда результат становится менее точным. Убедитесь, что угол мал и груз отпускается без толчка.

Неполные колебания или несогласованные запуск и остановка секундомера изменяют измеренное время. Ошибка появляется, когда считают движение только в одну сторону или начинают отсчёт после фактического старта. Считайте одинаковые полные циклы и заранее договоритесь о моменте запуска.

Измерение времени одного колебания усиливает влияние реакции наблюдателя. Даже небольшая задержка при нажатии кнопки становится заметной по сравнению со всем измеренным временем. Засеките 20–30 колебаний, а затем разделите общее время на их число.

Связь с другими темами

До начала работы нужно знать формулу периода, признаки колебательного движения и смысл величин длины, времени и периода. Также понадобятся правила перевода в единицы СИ и умение преобразовывать формулы.

Дальше этот опыт помогает изучать колебания, экспериментальные методы и оценку погрешностей. Такой подход применяют и при практическом определении других физических постоянных: измеряют доступные величины и связывают их формулой с искомой.

Что запомнить

• Математический маятник совершает приближённо гармонические колебания при малой амплитуде.
• Период маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения.
• Формула периода: T = 2π√(l/g).
• Для определения ускорения свободного падения используют формулу g = 4π²l/T².
• Период находят как отношение времени нескольких колебаний к их числу: T = t/N.
• Чем больше число измеренных колебаний, тем меньше влияние ошибки измерения времени.
• Результаты нескольких опытов сравнивают и по возможности усредняют.