§ 20. Вынужденные колебания. Резонанс

Определения и обозначения

Вынужденные колебания — колебания системы под действием внешней периодически изменяющейся силы. Такая сила действует снова и снова, поэтому движение не прекращается сразу после потери первоначальной энергии. Частоту внешней силы обозначают ν, а её период — T; они связаны формулой ν = 1/T.

Вынуждающая сила — внешняя периодическая сила, поддерживающая колебания системы и задающая их частоту. Например, рука, регулярно подталкивающая качели, сообщает им энергию. Это понятие помогает отделить внешнее воздействие от внутренних сил, таких как упругость и сила тяжести.

Амплитуда вынужденных колебаний — наибольшее отклонение тела от положения равновесия. При увеличении величины внешней силы амплитуда обычно возрастает, но она также зависит от частоты воздействия и сопротивления среды. По амплитуде можно оценить, насколько сильно система реагирует на внешнее воздействие.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении или близости частоты внешней силы к собственной частоте системы. Собственная частота определяется свойствами самой системы, например массой и жёсткостью пружины. Резонанс показывает, что одинаковая по величине сила может вызывать очень разный результат при разных частотах.

Как это устроено

Внешняя периодическая сила заставляет тело двигаться, потому что при каждом воздействии совершает работу и передаёт системе энергию. Если сила направлена согласованно с движением, скорость тела увеличивается, а энергия колебаний растёт. Часть энергии постоянно теряется из-за трения и сопротивления воздуха, поэтому без внешней силы колебания постепенно затухали бы.

В начале движения тело может колебаться сразу с двумя частотами: собственной и частотой внешней силы. Собственные колебания постепенно ослабевают из-за потерь энергии, а вынужденные поддерживаются постоянной подкачкой энергии. Поэтому в установившемся режиме остаётся движение с частотой внешнего воздействия, даже если собственная частота системы другая.

Амплитуда зависит от частоты внешней силы не случайно: при разных частотах сила по-разному согласована с движением тела. На низких частотах система успевает следовать за воздействием, а на очень высоких не успевает заметно отклониться. Между этими случаями существует область, где энергия передаётся особенно эффективно и амплитуда достигает максимума.

Резонанс возникает, когда частота внешней силы совпадает или почти совпадает с собственной частотой системы. Тогда каждое следующее воздействие происходит в подходящий момент и усиливает уже начавшееся движение. Энергия поступает в систему наиболее эффективно, поэтому небольшая периодическая сила может вызвать большие колебания.

Трение и сопротивление среды отводят энергию, поэтому не дают амплитуде расти бесконечно. При большом сопротивлении резонансный максимум становится ниже и шире, а при малом — выше и уже. Это используют для управления колебаниями: увеличивают трение в амортизаторах и гасителях вибраций, а иногда, наоборот, уменьшают потери, если резонанс нужен.

На графике видно, как амплитуда меняется при отношении частоты внешней силы к собственной частоте системы. Пик около значения ν/ν₀ = 1 соответствует резонансу, а кривая с большим сопротивлением имеет меньшую высоту.

Сравнение свободных и вынужденных колебаний

Сначала определите, есть ли внешний периодический источник энергии. Затем сравните частоту движения с частотой воздействия и выясните, есть ли максимум амплитуды. Последняя колонка показывает особый случай вынужденных колебаний, а не отдельный вид движения.

Разбор задач

Задача 1

У качелей периодически меняют скорость толчками. Нужно указать вид колебаний и назвать вынуждающую силу. Толчки повторяются через равные промежутки времени, поэтому воздействие является периодическим.

1. Качели получают энергию не только от начального отклонения, а от внешнего источника.
2. Периодические толчки заставляют систему продолжать движение, значит, колебания являются вынужденными.
3. Вынуждающей силой считают силу, с которой человек действует на качели при каждом толчке.

Ответ: у качелей возникают вынужденные колебания, а вынуждающей является периодическая сила толчков человека.

Задача 2

Собственный период качелей T = 2 с. Требуется найти частоту, при которой возникнет резонанс. При резонансе частота внешнего воздействия должна быть равна собственной частоте качелей.

1. Используем связь периода и частоты: ν = 1/T.
2. Подставляем значение периода: ν₀ = 1/2 с = 0,5 Гц.
3. Значит, подталкивать качели нужно дважды за секунду, то есть через каждые 2 с по одному полному циклу.

Ответ: резонанс возможен при частоте подталкиваний ν = 0,5 Гц.

Задача 3

Две одинаковые системы приводят в движение силой одинаковой амплитуды, но в одной трение больше. Нужно сравнить их максимальные амплитуды и выраженность резонанса. Одинаковые свойства систем означают одинаковую собственную частоту, поэтому различие создаёт сопротивление.

1. При резонансе энергия поступает в обе системы с одинаковой эффективностью.
2. В системе с большим трением больше энергии теряется за то же время.
3. Следовательно, её максимальная амплитуда будет меньше, а резонанс проявится слабее.

Ответ: большая амплитуда и более сильный резонанс будут у системы с меньшим трением; сопротивление ограничивает рост колебаний.

Типичные ошибки

Считать, что тело всегда колеблется с собственной частотой, неверно. Так думают, потому что собственная частота действительно определяет свободные колебания. Проверьте себя: если внешняя сила действует периодически, в установившемся режиме частота тела равна частоте этой силы.

Путать резонанс с любым увеличением амплитуды тоже нельзя. Амплитуда может вырасти из-за усиления внешней силы, но резонанс связан именно с близостью двух частот. Проверьте, сравниваете ли вы частоту воздействия с собственной частотой системы.

Нельзя утверждать, что при резонансе амплитуда неограниченно возрастает. В реальных системах энергия рассеивается из-за трения и сопротивления среды. Если в условии есть сопротивление, учитывайте его: оно ограничивает амплитуду.

Амплитуда и частота — разные величины, поэтому их нельзя заменять друг другом. Изменение частоты воздействия может изменить амплитуду, но в установившемся режиме частоту задаёт внешний источник. Для проверки отдельно назовите, как быстро повторяются колебания, и отдельно — каково наибольшее отклонение.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать период, частоту и амплитуду, а также различать свободные и затухающие колебания. Эти понятия нужны для описания движения и сравнения его параметров. Особенно важно понимать, что затухание связано с потерей энергии.

Вынужденные колебания опираются на закон сохранения энергии и действие периодической силы. Внешний источник передаёт энергию, а сопротивление среды её рассеивает. Баланс поступившей и потерянной энергии определяет амплитуду.

Резонанс встречается при изучении колебательных контуров и звука. Его учитывают в механических конструкциях и при создании защиты от вибраций. Поэтому понятие резонанса связывает физику с техникой, строительством и природными явлениями.

Что запомнить

• Вынужденные колебания возникают под действием внешней периодической силы.
• Частоту установившихся вынужденных колебаний задаёт внешняя сила.
• Амплитуда зависит от частоты внешней силы, её величины и сопротивления среды.
• Резонанс возникает при совпадении или близости частот внешней силы и системы.
• При резонансе амплитуда достигает наибольшего значения.
• Трение уменьшает амплитуду резонансных колебаний.
• Резонанс может быть полезным или опасным в зависимости от условий.