§ 3.5. Трехфазный ток

Определения и обозначения

Трёхфазный ток — совокупность трёх синусоидальных токов одинаковых частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на 120°. Это согласованная система, а не три независимых тока: её свойства позволяют передавать энергию и питать трёхфазные двигатели.

Фаза переменного тока — одна из трёх синусоидальных составляющих системы; для различения их обозначают A, B и C. Зная фазу, можно указать, к какой именно составляющей относятся напряжение и ток, и не перепутать их при расчёте.

Фазное напряжение — напряжение между фазным проводом и нейтралью источника или нагрузки. Оно показывает напряжение на одной фазе при соединении звездой и помогает найти напряжение на отдельном потребителе.

Линейное напряжение — напряжение между двумя фазными проводами. При симметричной системе со звездой оно в √3 раза больше фазного, поэтому перед вычислениями нужно уточнить, какое именно напряжение дано в условии.

Как это устроено

В генераторе трёхфазного тока есть три одинаковые катушки, или обмотки. Когда магнитное поле ротора движется относительно них, магнитный поток через каждую обмотку меняется, и в ней возникает переменная ЭДС. Одинаковая конструкция и скорость вращения дают ЭДС одинаковых частоты и амплитуды. Так получают три согласованных источника переменного напряжения.

Оси катушек располагают вокруг генератора под углом 120°, потому что обмотки должны занимать равномерные положения в пространстве. При вращении ротора он достигает соответствующих положений не одновременно, поэтому максимумы ЭДС в катушках наступают в разные моменты. Один полный оборот соответствует 360°, а равномерное разделение на три положения даёт сдвиг 360° / 3 = 120°. Именно так пространственное расположение обмоток превращается во временной сдвиг фаз.

Мгновенные значения ЭДС можно записать как e_A = Eₘ sin(ωt), e_B = Eₘ sin(ωt − 2π/3), e_C = Eₘ sin(ωt − 4π/3). Здесь Eₘ — амплитуда, ω — циклическая частота, а t — время; выражения после ω задают фазу каждой ЭДС. Сдвиги между соседними фазами равны 120°, а третью фазу можно также записать со сдвигом +120°. При сложении трёх синусоид с такими сдвигами получается ноль в любой момент времени, если система симметрична.

Обмотки источника и потребители соединяют звездой или треугольником. При звезде по одному концу каждой обмотки соединяют в общую нейтральную точку, а оставшиеся концы подключают к трём линейным проводам; при необходимости выводят и нейтральный провод. При треугольнике конец каждой обмотки соединяют с началом следующей, образуя замкнутый контур, а линейные провода подключают к вершинам. Поэтому число и назначение проводов зависят от схемы соединения и того, нужна ли нейтраль.

Трёхфазную систему удобно использовать для передачи энергии, поскольку при симметричной нагрузке сумма токов в нейтральном проводе равна нулю: через него не требуется передавать ток, если нейтраль есть. Это позволяет передавать большую мощность с меньшим расходом проводников по сравнению с передачей такой же мощности отдельными однофазными линиями. Кроме того, три фазных тока в обмотках двигателя создают магнитное поле, направление которого непрерывно поворачивается. Такое вращающееся поле увлекает ротор, поэтому двигателю не требуется отдельное устройство для создания вращения.

Параметры фаз симметричной трехфазной системы

В таблице удобно сравнивать фазы: амплитуда Uₘ и частота ω у всех одинаковы, а начальные фазы различаются. Чтобы найти напряжение в конкретный момент, подставьте одно и то же значение ωt во все три формулы. Угол −240° можно заменить на +120°, так как они отличаются на полный оборот 360°.

Разбор задач

Задача 1. Даны u_A = Uₘ sin(ωt), u_B = Uₘ sin(ωt − 2π/3), u_C = Uₘ sin(ωt − 4π/3). Найти мгновенные напряжения при ωt = π/6. Сначала подставим это значение в каждую фазу, не меняя амплитуду Uₘ. Важно вычислять синусы с учётом знака и сдвига.

1. Для фазы A: u_A = Uₘ sin(π/6) = Uₘ/2.
2. Для фазы B: u_B = Uₘ sin(π/6 − 2π/3) = Uₘ sin(−π/2) = −Uₘ.
3. Для фазы C: u_C = Uₘ sin(π/6 − 4π/3) = Uₘ sin(−7π/6) = Uₘ/2.
4. Проверим сумму: Uₘ/2 − Uₘ + Uₘ/2 = 0, что согласуется с симметрией системы.

Ответ: u_A = Uₘ/2, u_B = −Uₘ, u_C = Uₘ/2. Численные значения в вольтах можно получить, только если задана амплитуда Uₘ.

Задача 2. В сети со звездой линейное напряжение равно 380 В. Найти фазное напряжение. Поскольку задано линейное напряжение, а требуется фазное, используем соотношение для симметричной звезды: Uл = √3 Uф. Выражаем искомую величину делением, а не умножением.

1. Запишем формулу: Uф = Uл/√3.
2. Подставим данные: Uф = 380/√3 ≈ 219 В.
3. Округлим до принятого значения: примерно 220 В.

Ответ: фазное напряжение приблизительно равно 220 В. Такая проверка разумна: фазное напряжение должно быть меньше линейного в √3 раза.

Задача 3. Нагрузка соединена звездой, Uф = 220 В, Iф = 5 А, cos φ = 0,8. Найти суммарную активную мощность. В формуле мощности cos φ учитывает, какая часть полной мощности превращается в полезную активную мощность. Поскольку значения заданы для одной фазы, сначала найдём мощность этой фазы, а затем учтём все три одинаковые фазы.

1. Запишем формулу для симметричной нагрузки: P = 3UфIф cos φ.
2. Подставим данные: P = 3 · 220 · 5 · 0,8.
3. Вычислим: P = 2640 Вт = 2,64 кВт.
4. Проверим соответствие величин: при звезде Iл = Iф, а Uл = √3Uф. Поэтому можно было использовать P = √3UлIл cos φ, но нельзя подставлять в одну формулу фазное напряжение и линейный ток без проверки.

Ответ: суммарная активная мощность равна 2,64 кВт.

Типичные ошибки

Сдвиг фаз иногда принимают за 90°, перенося сюда свойство взаимно перпендикулярных колебаний. В трёхфазной системе три положения равномерно разделяют полный угол, поэтому сдвиг составляет 360°/3 = 120°. Проверка: три фазовых угла должны равномерно покрывать полный круг.

Фазное и линейное напряжения могут спутать, потому что оба измеряются в вольтах и относятся к одной сети. При звезде линейное напряжение в √3 раза больше фазного, а не наоборот. Перед подстановкой в формулу подпишите, между какими точками измерена каждая величина, и сверьте её со схемой соединения.

Если всем трём напряжениям записать одинаковую фазу, получится три совпадающие синусоиды, а не трёхфазная система. Такое упрощение обычно возникает, когда забывают, что каждой фазе соответствует отдельная катушка генератора. Проверьте формулы: соседние фазы должны отличаться на 2π/3, а их мгновенные значения в симметричной системе должны давать нулевую сумму.

Для трёхфазной нагрузки нельзя ограничиваться формулой мощности одной фазы P = UфIф cos φ, иначе результат будет в три раза меньше суммарной мощности. Нужно использовать P = 3UфIф cos φ либо эквивалентную формулу через линейные величины P = √3UлIл cos φ. Проверка проста: подставляйте согласованные пары напряжения и тока, соответствующие одной и той же схеме соединения.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в трёхфазной системе, нужно знать синусоидальный переменный ток, амплитуду, частоту, фазу и действующее значение напряжения. Эти понятия позволяют читать формулы и описывать, как меняются величины во времени. Далее тема связывается с устройством генераторов и электродвигателей, а также с передачей электроэнергии. Для более сложных расчётов понадобятся векторные диаграммы переменных токов, правила соединения сопротивлений и формулы электрической мощности.

Что запомнить

• Трёхфазная система состоит из трёх одинаковых синусоидальных величин.
• Сдвиг фаз между соседними фазами равен 120°.
• В симметричной системе сумма мгновенных значений трёх фаз равна нулю.
• При соединении звездой Uл = √3 Uф.
• При симметричной нагрузке действующие значения токов и напряжений соответствующих фаз одинаковы.
• Трёхфазный ток экономичен при передаче энергии и создаёт вращающееся магнитное поле.
• Основные схемы соединения — звезда и треугольник.