§ 4.5. Уравнение бегущей волны

Определения и обозначения

Бегущая волна — распространение колебаний в пространстве с передачей энергии без переноса вещества. Частицы среды лишь колеблются около положений равновесия. Это понятие нужно, чтобы отличать движение волны от движения отдельных частиц.

Уравнение бегущей волны — зависимость смещения точки среды от её координаты и времени. Оно показывает, где находится точка и как она колеблется в выбранный момент. Благодаря уравнению можно описать сразу всё волновое движение.

Фаза волны — величина, определяющая состояние колебательного движения точки в данный момент. Точки с одинаковой фазой находятся в одинаковых состояниях колебаний. Фаза позволяет сравнивать колебания в разных местах и в разные моменты.

Волновое число — величина k = 2π/λ, характеризующая изменение фазы с расстоянием. Чем меньше длина волны, тем быстрее фаза меняется при перемещении вдоль среды. Единица волнового числа в СИ — рад/м, радиан обычно считают безразмерным.

Как это устроено

Пусть источник в начале координат совершает гармонические колебания по закону y(0,t) = A cos(ωt + φ₀). Точка среды с координатой x повторяет это движение не сразу, потому что возмущение распространяется от источника с конечной скоростью v. Поэтому её колебание нужно описывать временем, уменьшенным на задержку: t − x/v.

Подставляя запаздывающее время в закон источника, получаем y(x,t) = A cos(ω(t − x/v) + φ₀). После раскрытия скобок имеем y = A cos(ωt − ωx/v + φ₀). Так как k = ω/v, уравнение принимает вид y = A cos(ωt − kx + φ₀).

Поскольку за один период фаза изменяется на 2π, а за расстояние λ повторяется состояние колебания, kλ = 2π. Поэтому ту же волну можно записать как y = A cos(ωt − 2πx/λ + φ₀). Координата показывает различие состояний в разных точках, а время — изменение состояния каждой точки.

Знак перед координатным членом задаёт направление движения одинаковой фазы. В выражении ωt − kx = const при увеличении времени координата x тоже увеличивается, значит, волна идёт вдоль положительной оси. При знаке «+» перед kx для сохранения фазы координата должна уменьшаться, поэтому распространение происходит в отрицательном направлении.

Величины и параметры уравнения бегущей волны

Сначала сопоставьте данное уравнение с общим видом и найдите коэффициенты при t и x. Затем используйте таблицу для перехода от ω и k к ν, λ и v. Все длины, координаты и амплитуды перед вычислениями удобно перевести в единицы СИ.

Разбор задач

Задача 1

Дана волна y = 0,04 cos(20πt − 5πx). Требуется найти амплитуду, частоту, длину волны и скорость. Сравним выражение с формой y = A cos(ωt − kx + φ₀).

1. Амплитуда равна коэффициенту перед косинусом: A = 0,04 м.
2. ω = 20π рад/с, поэтому ν = ω/(2π) = 10 Гц.
3. k = 5π рад/м, значит, λ = 2π/k = 0,4 м.
4. Скорость v = λν = 0,4 · 10 = 4 м/с.

Ответ: A = 0,04 м, ν = 10 Гц, λ = 0,4 м, v = 4 м/с.

Задача 2

Амплитуда волны 2 см, частота 5 Гц, длина волны 0,8 м. При x = 0 и t = 0 смещение максимально, значит, начальная фаза может быть φ₀ = 0.

1. Переводим амплитуду: A = 0,02 м.
2. Вычисляем ω = 2πν = 10π рад/с.
3. Находим k = 2π/λ = 2π/0,8 = 2,5π рад/м.
4. Подставляем значения в уравнение с распространением вправо: y = 0,02 cos(10πt − 2,5πx).

Ответ: y = 0,02 cos(10πt − 2,5πx), где y и x выражены в метрах.

Задача 3

В начале координат точка колеблется по закону y(0,t) = 3 cos(4πt) см, а волна распространяется со скоростью 2 м/с. Нужно построить уравнение, вычислить смещение при x = 0,75 м и t = 0,5 с и определить направление.

1. ω = 4π, ν = 2 Гц, поэтому λ = v/ν = 1 м и k = 2π рад/м.
2. С учётом задержки x/v получаем y = 3 cos(4πt − 2πx) см.
3. При заданных x и t фаза равна 4π · 0,5 − 2π · 0,75 = π/2, поэтому y = 0.
4. Знак «−» перед kx показывает распространение в положительном направлении оси x.

Ответ: y = 3 cos(4πt − 2πx) см; при x = 0,75 м и t = 0,5 с смещение равно 0; волна распространяется вдоль положительной оси x.

Типичные ошибки

Путают уравнение колебаний одной точки y(t) с уравнением волны y(x,t). Ошибка возникает, если забывают, что разные точки среды находятся в разных состояниях. Проверьте наличие координаты x в фазе.

Неверно выбирают знак перед kx. Знак «−» связан с задержкой t − x/v и движением в положительном направлении, а знак «+» — с движением в отрицательном. Для проверки приравняйте фазу постоянной и посмотрите, как меняется x со временем.

Подставляют частоту ν вместо циклической частоты ω или волнового числа k. Причина — смешение величин, отличающихся множителем 2π. Проверьте себя формулами ω = 2πν и k = 2π/λ.

Считают, что вещество переносится вместе с волной. На самом деле частицы среды совершают колебания около положений равновесия, а передаётся энергия. Представьте поплавок на воде: волна проходит дальше, хотя поплавок лишь колеблется.

Связь с другими темами

Для работы с уравнением нужны знания о гармонических колебаниях, амплитуде, периоде, частоте, циклической частоте и начальной фазе. Также необходимо уверенно пользоваться синусом и косинусом, переводить величины в единицы СИ и читать формулы с двумя переменными. Уравнение бегущей волны станет основой для изучения интерференции, дифракции, стоячих волн, звука и электромагнитных волн.

Что запомнить

• Уравнение бегущей волны описывает смещение частицы среды как функцию координаты и времени.
• Общий вид волны: y = A cos(ωt − kx + φ₀) или y = A cos(ωt + kx + φ₀).
• Величина k = 2π/λ называется волновым числом.
• Скорость волны связана с параметрами соотношениями v = λ/T = λν = ω/k.
• Знак перед kx задаёт направление распространения волны.
• При распространении волны частицы среды колеблются около положений равновесия, а переносится энергия.
• По уравнению волны можно определить амплитуду, частоту, длину волны, скорость и начальную фазу.