§ 5.6. Энергия электромагнитной волны

Определения и обозначения

Энергия электромагнитной волны — энергия, переносимая электрическим и магнитным полями, составляющими волну. Поля существуют не только в веществе, но и в вакууме, поэтому волна может переносить энергию без переноса вещества. Эта энергия проявляется, например, в нагревании тел или работе приёмника излучения.

Плотность энергии электромагнитного поля — энергия, содержащаяся в единице объёма поля; её обозначают w и измеряют в Дж/м³. Она показывает, сколько энергии находится в выбранной части пространства в данный момент. Чем больше w, тем больше энергии заключено в одинаковом объёме волны.

Плотность потока энергии — энергия, проходящая через единицу площади за единицу времени. Величину измеряют в Вт/м², поскольку 1 Вт = 1 Дж/с. Она характеризует не запас энергии в объёме, а скорость её прохождения через поверхность.

Интенсивность электромагнитной волны — средняя плотность потока энергии, переносимой волной. Обычно её обозначают I и используют для гармонического излучения, где поле периодически меняется. Интенсивность нужна, чтобы сравнивать мощность излучения и рассчитывать энергию, получаемую площадкой.

Как это устроено

Электромагнитная волна состоит из взаимосвязанных электрического и магнитного полей, поэтому её энергия не может относиться только к одному из них. Электрическое поле обладает энергией, связанной с разделением зарядов и напряжённостью поля, а магнитное — с магнитной индукцией. При распространении волны эти поля изменяются одновременно и переносят энергию вместе.

Плотность энергии электрического поля равна wₑ = ε₀E²/2, а магнитного поля — wₘ = B²/(2μ₀). Полная плотность получается сложением независимых вкладов: w = wₑ + wₘ. Так складываются энергии двух полей, потому что в одном и том же объёме пространства присутствуют обе составляющие волны.

В плоской электромагнитной волне в вакууме напряжённость и магнитная индукция связаны формулой E = cB. Подставим B = E/c в магнитную плотность: wₘ = E²/(2μ₀c²). Так как c² = 1/(ε₀μ₀), получаем wₘ = ε₀E²/2 = wₑ, то есть вклады полей равны.

Энергия не остаётся в одной точке: волна переносит её в направлении, перпендикулярном электрическому и магнитному полям. За единицу времени через единицу площади проходит плотность потока энергии S. Для плоской волны S = cw, потому что за время Δt энергия из слоя толщиной cΔt проходит через площадку, а объём этого слоя равен SₚcΔt.

Для гармонической волны E = E₀ cos ωt, поэтому мгновенная плотность энергии пропорциональна E² и постоянно меняется. Среднее значение cos² за период равно ½, откуда средняя интенсивность I = ½ε₀cE₀². Нельзя смешивать мгновенное значение S = ε₀cE² и среднее значение I: первое меняется во времени, второе описывает перенос за длительный промежуток.

Энергия и перенос энергии электромагнитной волны

Сначала определите, требуется ли мгновенная или средняя величина. Затем выберите формулу с напряжённостью E или магнитной индукцией B и проверьте, что речь идёт о вакууме или воздухе. По интенсивности можно найти мощность через площадку: P = IS.

Разбор задач

Задача 1

Условие. В вакууме в некоторой точке электромагнитной волны напряжённость электрического поля равна E. Найти плотности энергии электрического и магнитного полей и полную плотность энергии. Считаем E и B мгновенными значениями.

1. Для электрического поля используем wₑ = ε₀E²/2.
2. Связь E = cB даёт B = E/c, поэтому wₘ = B²/(2μ₀) = ε₀E²/2.
3. Складываем вклады: w = wₑ + wₘ = ε₀E².

Ответ: wₑ = wₘ = ε₀E²/2, а полная плотность энергии w = ε₀E². Равенство двух частей связано именно с плоской волной в вакууме.

Задача 2

Условие. Амплитуда напряжённости электрического поля гармонической волны в вакууме равна E₀. Определить среднюю интенсивность и амплитуду магнитной индукции. Нужно использовать амплитуду, а не мгновенное значение поля.

1. Средняя интенсивность гармонической волны определяется формулой I = ½ε₀cE₀².
2. Из E₀ = cB₀ выражаем магнитную амплитуду: B₀ = E₀/c.
3. Подставляем известную амплитуду в обе формулы и сохраняем единицы: I получается в Вт/м², B₀ — в теслах.

Ответ: I = ½ε₀cE₀², B₀ = E₀/c. Множитель ½ появляется потому, что усредняется квадрат гармонически меняющегося поля.

Задача 3

Условие. Волна падает на площадку площадью S и переносит за время t энергию W. Найти интенсивность, мощность потока энергии и амплитуду электрического поля в вакууме. Предполагаем, что поток равномерно распределён по площадке.

1. Интенсивность равна энергии, делённой на площадь и время: I = W/(St).
2. Мощность — энергия за единицу времени, поэтому P = W/t, или P = IS.
3. Из I = ½ε₀cE₀² выражаем амплитуду: E₀ = √(2I/(ε₀c)) = √(2W/(ε₀cSt)).

Ответ: I = W/(St), P = W/t = IS, E₀ = √(2W/(ε₀cSt)). Сначала находится средняя интенсивность, а затем через неё — амплитуда поля.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать плотность энергии электрического поля полной энергией волны. Так поступают, забывая о равном вкладе магнитного поля. Проверьте себя: в плоской волне в вакууме должно быть w = 2wₑ = 2wₘ.

Вторая ошибка — подставлять амплитуду в формулу мгновенной энергии без учёта усреднения. Причина в том, что энергия зависит от квадрата поля, а не от самого поля. Для средней интенсивности используйте множитель ½ перед ε₀cE₀².

Третья ошибка — путать Дж/м³ и Вт/м². Плотность энергии описывает запас в объёме, а интенсивность — перенос через площадь за время. Проверка проста: наличие площади и времени в расчёте обычно указывает на поток энергии.

Четвёртая ошибка — применять E = cB и формулу I = ½ε₀cE₀² в любой среде. Эти записи относятся к вакууму, а для среды нужны её параметры и скорость распространения. Перед решением найдите в условии указание на вакуум или воздух.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны формулы энергии электрического и магнитного полей, а также понятия напряжённости E и магнитной индукции B. Связь E = cB позволяет переходить от одной характеристики волны к другой. Без этих представлений трудно получить полную плотность энергии.

Энергия волны связана с её распространением со скоростью света. Вектор переноса энергии направлен вдоль распространения, а поля при этом взаимно перпендикулярны. Поэтому тема объединяет свойства полей, волн и движения энергии.

Интенсивность используется при изучении излучения, радиосвязи и оптики. Она помогает объяснить давление света, действие антенн и передачу энергии от источника к приёмнику. В энергетике электромагнитного излучения по интенсивности оценивают мощность, поступающую на поверхность.

Что запомнить

• Электромагнитная волна переносит энергию.
• Полная энергия волны складывается из энергий электрического и магнитного полей.
• В плоской волне в вакууме электрическая и магнитная плотности энергии равны.
• Плотность энергии измеряется в Дж/м³.
• Интенсивность измеряется в Вт/м² и характеризует перенос энергии через единицу площади.
• Средняя интенсивность гармонической волны пропорциональна квадрату амплитуды поля.
• При удалении от источника интенсивность волны обычно уменьшается.