§ 1.10. Векторы

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, характеризующийся модулем и направлением. Обычно его обозначают строчной буквой со стрелкой сверху или жирной буквой: a. В физике вектор нужен, когда одного числа недостаточно для описания величины.

Модуль вектора — длина направленного отрезка, обозначаемая |a| или a. Модуль не имеет направления и всегда неотрицателен. Он показывает, насколько велико значение векторной величины.

Равные векторы — векторы с одинаковыми модулями и направлениями, независимо от положения. Поэтому их начала могут быть в разных точках. Такое свойство позволяет переносить векторы и удобно выполнять построения.

Противоположные векторы имеют равные модули, но направлены в противоположные стороны. Если одному вектору соответствует a, противоположный ему обозначают −a. Это понятие необходимо для вычитания и обозначения обратного направления.

Как это устроено

Некоторые физические величины нельзя описать одним числом, потому что одинаковый числовой результат может соответствовать разным направлениям. Например, перемещение 5 м на восток и перемещение 5 м на север имеют одинаковые модули, но описывают разные движения. Поэтому для скорости, ускорения, силы и перемещения указывают и модуль, и направление.

На рисунке вектор изображают отрезком со стрелкой: длина показывает модуль, а стрелка — направление. Длину выбирают по масштабу, например 1 см может соответствовать 2 м. Вектор можно параллельно перенести в другую точку, потому что при таком переносе не меняются ни его длина, ни направление.

Чтобы сложить векторы a и b по правилу треугольника, начало b помещают в конец a. Вектор от начала a к концу перенесённого b является суммой a + b: второй этап движения начинается там, где закончился первый. По правилу параллелограмма оба вектора откладывают из одной точки, достраивают параллелограмм, а его диагональ из общего начала даёт ту же сумму.

Оба правила дают один результат, потому что в них описывается одно и то же последовательное перемещение: сначала выполняется действие, соответствующее a, затем — соответствующее b. В параллелограмме диагональ соединяет исходную точку с конечной. Порядок сложения можно менять: a + b = b + a, хотя промежуточное положение конца первого вектора будет другим.

Разность векторов сводят к уже известному сложению. Для выражения a − b к вектору a прибавляют противоположный вектор −b: a − b = a + (−b). При умножении вектора a на число k его модуль становится равным |k|·|a|; положительный множитель сохраняет направление, отрицательный меняет его, а при k = 0 получается нулевой вектор.

Скалярные и векторные величины

Таблица помогает сравнить не только определения, но и действия с двумя типами физических величин. При решении задачи сначала определите, является ли величина скаляром или вектором. Это подсказывает, нужно ли учитывать направление при вычислениях.

Разбор задач

Задача 1. Построение равных векторов

Условие: изобразить вектор перемещения длиной 4 см в масштабе 1 см = 2 м и построить равный ему вектор из другой точки. Требуется сохранить физический смысл масштаба и направление. Положение начала при этом не является частью определения свободного вектора.

1. По масштабу определяем реальный модуль: 4 см соответствуют 8 м.
2. Из выбранной точки проводим отрезок длиной 4 см и ставим стрелку в заданном направлении.
3. Из другой точки проводим параллельный отрезок той же длины с такой же ориентацией стрелки.

Ответ: второй вектор будет равен первому, потому что его длина и направление совпадают. Его модуль в физических единицах равен 8 м. Параллельный перенос не изменяет вектор.

Задача 2. Сумма перпендикулярных векторов

Условие: даны два перпендикулярных вектора перемещения с модулями 3 м и 4 м. Нужно найти модуль их суммы. Перпендикулярность подсказывает, что после построения получится прямоугольный треугольник.

1. Откладываем один вектор длиной 3 м, а из его конца — второй длиной 4 м под прямым углом.
2. Соединяем начало первого вектора с концом второго: этот отрезок изображает сумму.
3. Применяем теорему Пифагора: |a + b| = √(3² + 4²) = √25 = 5 м.

Ответ: модуль результирующего перемещения равен 5 м. Складывать 3 м и 4 м напрямую можно было бы только для сонаправленных векторов. Здесь направление изменяет результат.

Задача 3. Восточное и северное перемещения

Условие: тело переместилось сначала на 6 м на восток, затем на 8 м на север. Найдём модуль и направление результирующего перемещения. Направления восток и север перпендикулярны, поэтому векторы образуют катеты прямоугольного треугольника.

1. По правилу треугольника откладываем 6 м вправо, затем от конечной точки — 8 м вверх.
2. Модуль результирующего вектора равен √(6² + 8²) = √100 = 10 м.
3. Угол α к восточному направлению находим из tg α = 8/6 = 4/3, поэтому α ≈ 53° к северу от востока.

Ответ: тело удалилось от исходной точки на 10 м по направлению между востоком и севером. Угол составляет примерно 53° к востоку от северного направления или 53° к северу от восточного. Оба описания задают одну и ту же линию.

Типичные ошибки

Одинаковая длина — не всегда равенство. Так считают, когда забывают о стрелке. Проверьте и длину, и направление: совпадение только модулей недостаточно.

Складывать модули без учёта направлений нельзя. Такое действие привычно для обычных чисел, но векторы могут быть перпендикулярны или направлены навстречу. Постройте треугольник и сравните результат с возможными крайними случаями.

Путь путают с перемещением. Путь показывает длину всей траектории и является скаляром, а перемещение соединяет начальную и конечную точки и имеет направление. Если тело вернулось назад, путь не равен нулю, а перемещение может оказаться нулевым.

При отрицательном множителе оставляют прежнее направление. Ошибка возникает из-за внимания только к модулю числа. После умножения на k < 0 нужно развернуть стрелку, а её длину изменить в |k| раз.

Связь с другими темами

До изучения векторов нужны представления об отрезке, направлении, масштабе и координатной плоскости. Теорема Пифагора помогает находить модуль суммы перпендикулярных векторов. Координатные оси позволяют заменять геометрическое построение вычислениями.

В механике векторами описывают перемещение, скорость, ускорение и силу. Их направление показывает, куда происходит движение или действие силы, а модуль — численное значение соответствующей величины. Поэтому векторное описание точнее скалярного.

Дальше векторные операции понадобятся при решении задач механики. Сложение и умножение на число позволяют работать с несколькими воздействиями одновременно. Разложение вектора по координатным осям упрощает вычисления.

Что запомнить

• Вектор задаётся модулем и направлением.
• Модуль вектора равен длине изображающего его направленного отрезка.
• Равные векторы можно переносить параллельно самим себе.
• Сумму векторов строят по правилу треугольника или параллелограмма.
• Разность векторов равна сумме уменьшаемого вектора и противоположного вычитаемому.
• Умножение на положительное число сохраняет направление, а на отрицательное меняет его.
• Путь является скаляром, а перемещение — вектором.