"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Векторы описывают величины, у которых есть не только числовое значение, но и направление: перемещение, скорость, ускорение. Над ними можно выполнять сложение, вычитание и умножение на число. Главные правила помогают находить общий результат нескольких направлений, строить разность векторов и понимать, как меняется вектор при изменении его длины или развороте. Эти операции нужны для решения задач механики и работы с координатами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Векторная сумма — вектор, получаемый при сложении двух векторов. По правилу треугольника второй вектор переносят к концу первого, а результат соединяет начало первого с концом второго; по правилу параллелограмма результатом служит диагональ. Эти способы нужны, чтобы находить общий эффект двух направлений.
Разность векторов — сумма уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому: a − b = a + (−b). Знак минус означает не простое вычитание длин, а изменение направления второго вектора. Такая запись позволяет свести вычитание к уже знакомому сложению.
Умножение вектора на число изменяет его длину в |λ| раз, если множитель равен λ. При положительном λ направление сохраняется, при отрицательном меняется на противоположное, а при λ = 0 возникает нулевой вектор. Операция позволяет получать векторы нужного масштаба.
Противоположные векторы имеют равные длины и направлены в противоположные стороны. Вектор −a противоположен a, поэтому a + (−a) = 0, где 0 — нулевой вектор. Они нужны для записи разности и для описания взаимного уничтожения двух направлений.
Чтобы построить сумму a + b, сначала откладывают вектор a, а затем переносят b параллельно самому себе так, чтобы его начало оказалось в конце a. Соединение начала a с конца перенесённого b и есть сумма. Перенос допустим, потому что у свободного вектора сохраняются длина и направление, а положение на плоскости не меняет его свойства.
Правило параллелограмма даёт тот же результат, поскольку оба слагаемых откладываются из одной точки. На сторонах параллелограмма находятся a и b, а диагональ из общей точки показывает последовательное действие обоих векторов. Поэтому диагональ совпадает с вектором суммы, хотя построение выглядит иначе.
Несколько векторов складывают цепочкой: конец первого соединяют с началом второго, конец второго — с началом третьего и так далее. Итоговый вектор соединяет начало первого звена с концом последнего. Порядок не влияет на результат, потому что сложение векторов обладает переместительным и сочетательным свойствами: a + b = b + a и (a + b) + c = a + (b + c).
Для вычитания вектора b строят противоположный ему вектор −b, а затем складывают a и −b. Это объясняет запись a − b = a + (−b) и показывает, почему направление вычитаемого обязательно учитывать. Если векторы равны, то a − a = a + (−a) = 0: равные противоположно направленные векторы взаимно уничтожаются.
При умножении a на число λ длина результата становится |λ|·|a|. Положительный множитель растягивает или укорачивает вектор без разворота, отрицательный дополнительно меняет направление на противоположное. Множитель 0 превращает любой вектор в нулевой, длина которого равна нулю и направление не определяется.
| Операция | Построение | Направление результата | Длина результата |
|---|---|---|---|
| Сложение двух векторов | Второй вектор переносят к концу первого; соединяют начало и конец цепочки. | От начала первого к концу второго. | Зависит от угла между слагаемыми. |
| Вычитание двух векторов | К первому вектору прибавляют противоположный второму. | Направление суммы a + (−b). | Зависит от длин и направлений a и b. |
| Умножение вектора на положительное число | Сохраняют линию вектора и изменяют его длину в заданное число раз. | Совпадает с исходным. | |λ|·|a|. |
| Умножение вектора на отрицательное число | Изменяют длину в |λ| раз и разворачивают вектор. | Противоположно исходному. | |λ|·|a|. |
| Умножение вектора на ноль | Получают точку, соответствующую нулевому вектору. | Не определяется. | 0. |
Сначала определите, какая операция выполняется, затем выберите соответствующее построение. В строках с умножением смотрите на знак множителя, а при сложении и вычитании учитывайте угол и направления векторов.
Векторы a и b сонаправлены, их длины равны 3 см и 4 см. Требуется построить и найти длину a + b.
Ответ: |a + b| = 7 см; направление совпадает с направлениями a и b.
Векторы имеют длины 7 см и 2 см и направлены противоположно. Направление a считаем положительным; требуется построить a − b.
Ответ: длина a − b равна 9 см, направление результата совпадает с направлением a.
Даны a = (2; −1) и b = (−3; 4). Найдём a + b, a − b и −2a, а затем их длины.
Ответ: a + b = (−1; 3), |a + b| = √10; a − b = (5; −5), |a − b| = 5√2; −2a = (−4; 2), |−2a| = 2√5.
Второй вектор откладывают не от конца первого. Так нарушается правило треугольника и получается другая цепочка. Проверьте, что начало второго вектора совпадает с концом первого.
Вычитают длины независимо от направлений. Такая ошибка возникает из-за привычки работать с обычными числами. Замените вычитание на a + (−b) и сначала определите направление противоположного вектора.
При отрицательном множителе меняют только длину. Знак числа отвечает ещё и за разворот вектора, поэтому результат −2a направлен противоположно a. Проверьте направление стрелки после умножения.
Складывают длины при любом угле. Простая сумма длин верна только для сонаправленных векторов; при другом угле результат короче или определяется иначе. Постройте параллелограмм либо используйте координаты и формулу длины.
До изучения операций нужно знать, что такое вектор, как измеряются его длина и направление, а также уметь параллельно переносить равные и противоположные векторы. Без этого трудно правильно построить сумму или разность.
Векторные операции применяются при описании перемещения, скорости и ускорения, поскольку эти величины могут иметь разные направления. Они также нужны при разложении вектора на составляющие и переходе к координатному способу решения задач.
Почему сумму векторов можно построить и правилом треугольника, и правилом параллелограмма?
В обоих случаях из начала первого вектора и конца второго получается один и тот же результирующий вектор. Правило треугольника переносит второй вектор к концу первого, а правило параллелограмма откладывает оба вектора из одной точки.
Можно ли складывать векторы, если они приложены к разным точкам?
Да, свободный вектор можно параллельно перенести, не изменяя его длину и направление. Поэтому один из векторов переносят так, чтобы его начало совпало с концом другого.
Чем вычитание векторов отличается от вычитания их длин?
При вычитании векторов учитываются и длины, и направления. Операцию a − b заменяют сложением a + (−b), поэтому результат не всегда равен разности числовых длин.
Что происходит с вектором при умножении на отрицательное число?
Его длина умножается на модуль числа, а направление меняется на противоположное. Например, при умножении на −2 вектор становится в два раза длиннее и разворачивается.
Как найти длину суммы векторов, если они направлены под углом друг к другу?
Если длины векторов равны a и b, а угол между ними равен α, используют формулу |a + b| = √(a² + b² + 2ab cos α). При известных координатах сумму находят покоординатно, а затем применяют теорему Пифагора.
§ 1.11. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число
