§ 1.2. Прямолинейное движение точки. Координаты. Система отсчета

Определения и обозначения

Материальная точка — тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Это не означает, что тело на самом деле не имеет размеров: мы лишь заменяем его точкой, чтобы упростить описание. Так делают, если размеры не влияют на ответ, например изучая путь автомобиля между городами. При маневрировании автомобиля габариты уже важны, поэтому такое упрощение может не подойти.

Прямолинейное движение точки — движение, при котором её траектория, то есть линия, по которой перемещается точка, является прямой. Такая модель позволяет описывать положение тела на одной координатной оси. Она удобна, когда движение действительно происходит вдоль прямой или его можно приближённо считать таким.

Система отсчёта — тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Тело отсчёта нужно, чтобы указать, относительно чего рассматривают положение и движение. Координаты задают место точки, а часы позволяют соотнести это место с определённым моментом времени; без любой из этих частей описание будет неполным.

Координата точки — число, задающее её положение относительно выбранного начала координат на оси. На прямой для этого достаточно одного числа, но оно зависит от начала и направления оси. Поэтому координата нужна не просто как расстояние, а как способ однозначно указать положение точки в выбранной системе.

Как это устроено

Движение нельзя описать без указания тела отсчёта, потому что положение всегда сравнивают с чем-то. Например, пассажир сидит неподвижно относительно автобуса, но расстояние от него до дорожных знаков меняется. Значит, пассажир покоится в одной системе отсчёта и движется в другой. Чтобы слова «покоится» или «движется» имели точный смысл, нужно назвать тело, относительно которого сделан вывод.

Координатная ось превращает положение на прямой в число. Сначала выбирают точку, которой назначают координату 0, затем задают положительное направление и единицу длины, например метр. Эти договорённости определяют, как читать координату: число показывает, сколько единиц от начала находится точка, а выбранное направление задаёт знак. Если изменить начало или направление, для того же положения получится другое число.

Координата бывает положительной, отрицательной или нулевой из-за того, с какой стороны от начала находится точка. Если она расположена в положительном направлении, координата положительна; если в противоположном — отрицательна. В самом начале оси координата равна нулю. Например, при направлении вправо точка в 3 м справа имеет координату +3 м, а точка в 3 м слева — −3 м.

Система отсчёта и координата связаны: число без указания оси не сообщает, где именно находится точка. Одно и то же положение можно описать разными координатами, если наблюдатели выбрали разные начала или направления. Чтобы координата была однозначной, нужно знать, относительно какого тела рассматривают движение и как устроена координатная ось. Часы дополняют описание, когда важно указать положение в конкретный момент времени.

Модель материальной точки упрощает задачу, потому что вместо описания всех частей тела достаточно следить за одной точкой. Решение о применимости модели зависит не от самого тела, а от того, что требуется выяснить. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями, которые оно проходит, ими часто можно пренебречь. Если же важны поворот, форма или габариты, например при прохождении узкого проёма, тело точкой считать нельзя.

Как задают положение точки при прямолинейном движении

Пользуйтесь таблицей как последовательностью действий: выберите тело отсчёта, задайте ось и её начало, а затем определите координату. Проверьте, в какую сторону направлена ось, прежде чем ставить знак. Если требуется описать положение в определённый момент, укажите также время.

Разбор задач

Задача 1. На прямой отмечены начало координат O и положительное направление вправо. Точка A расположена на 4 м правее O. Нужно определить её координату. Сравним положение точки с началом и проверим, совпадает ли направление к ней с положительным направлением оси.

1. Начало координат соответствует значению 0.
2. Точка A находится в положительном направлении, поэтому её координата имеет знак «плюс».
3. Расстояние от O равно 4 м, значит, координата равна +4 м.

Ответ: xₐ = +4 м. Здесь важны и расстояние, и направление от начала. Если бы точка находилась в 4 м слева, при той же оси её координата была бы −4 м.

Задача 2. Начало координат находится у остановки, а положительное направление выбрано к востоку. Автомобиль стоит в 300 м к западу от остановки. Требуется записать координату автомобиля. Учитываем, что запад противоположен выбранному положительному направлению.

1. Остановка принята за начало координат, поэтому у неё координата 0.
2. Автомобиль находится против положительного направления оси, значит, координата отрицательна.
3. Расстояние от остановки равно 300 м, поэтому координата автомобиля равна −300 м.

Ответ: x = −300 м. Знак определился не самим словом «запад», а тем, что ось направлена на восток. При выборе положительного направления на запад знак этой координаты изменился бы.

Задача 3. Первый наблюдатель выбрал началом пункт A, а второй — пункт B, который расположен на 5 м восточнее A. Точка P находится на 12 м восточнее A. Найдём координату P в системе второго наблюдателя, сохраняя общее направление оси на восток. Сравним положение P именно с новым началом B.

1. От A до P — 12 м на восток, а от A до B — 5 м на восток.
2. Расстояние от B до P равно 12 м − 5 м = 7 м.
3. P расположена восточнее B, то есть в положительном направлении, поэтому координата равна +7 м.

Ответ: x₂ = +7 м. При смене начала координат положение P относительно наблюдателя изменилось численно, хотя сама точка не переместилась. Общее направление оси сохранилось, поэтому знак остался положительным.

Типичные ошибки

Ошибка: считать координату расстоянием до начала и всегда записывать её положительной. Так происходит, когда забывают, что координата содержит информацию о направлении. Проверьте, с какой стороны от начала находится точка относительно оси. Расстояние будет неотрицательным, а координата может иметь знак «минус».

Ошибка: не указывать тело отсчёта и систему координат. Тогда непонятно, относительно чего описано положение и где выбрано начало оси. Это часто упускают, потому что в простой задаче система кажется очевидной. Для проверки спросите себя, можно ли по записи однозначно определить положение точки; если нет, уточните тело отсчёта и ось.

Ошибка: назначать знак координаты по сторонам света. Запад не всегда означает минус, а восток — плюс: знак задаётся выбранным положительным направлением. Ошибка возникает, если направление оси не проверяют. Перед записью координаты сравните направление от начала к точке с положительным направлением оси.

Ошибка: считать любое тело материальной точкой. Модель удобна, поэтому её применяют автоматически, не проверяя условия задачи. Но размеры могут влиять на ответ, например при оценке возможности проехать в узкий проём. Проверьте, изменится ли результат, если учесть форму и габариты тела; если изменится, пренебрегать ими нельзя.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужно уметь отмечать числа на числовой оси и различать положительные и отрицательные значения. Понятие движения опирается на сравнение положения тела в разные моменты времени относительно выбранного тела отсчёта. Поэтому координата и время вместе помогают описывать, как меняется положение. Те же идеи понадобятся при изучении перемещения, скорости и уравнения движения.

Что запомнить

• Положение и движение тела описывают относительно выбранного тела отсчёта.
• Система отсчёта включает тело отсчёта, координатную систему и часы.
• При прямолинейном движении положение точки можно задавать одной координатой.
• Координата зависит от выбора начала и направления оси.
• Координата может быть положительной, отрицательной или нулевой.
• Материальная точка — модель тела, применимость которой определяется условиями задачи.