§ 1.3. Различные способы описания движения. Траектория

Определения и обозначения

Механическое движение — изменение положения тела относительно других тел с течением времени. Например, пассажир перемещается относительно Земли, но может покоиться относительно сиденья. Это понятие позволяет описывать, как тело меняет своё положение.

Система отсчёта — тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Тело отсчёта выбирают, чтобы сравнивать с ним положение изучаемого тела, координаты задают в выбранных осях, а часы позволяют следить за изменениями во времени. Без этой совокупности нельзя точно задать движение.

Траектория — линия, которую описывает тело при движении. Она складывается из последовательных положений тела и может быть прямой, окружностью или кривой более сложной формы. Знание траектории помогает представить геометрию движения, но не говорит, как быстро тело движется.

Радиус-вектор — вектор, проведённый из начала координат к положению материальной точки. Его направление указывает, где находится точка относительно начала координат, а длина соответствует расстоянию до неё. Изменение радиус-вектора во времени даёт векторный способ описания движения.

Как это устроено

Описание движения начинается с выбора тела отсчёта, потому что положение не бывает задано само по себе: его сравнивают с положением других тел. Затем вводят координаты, чтобы указать, где именно находится тело, и часы, чтобы установить, когда оно там находится. Один и тот же объект может покоиться относительно одного тела и двигаться относительно другого. Поэтому система отсчёта является частью описания движения, а не необязательным дополнением.

При координатном способе положение точки задают координатами как функциями времени: x(t), y(t), z(t). Значение каждой функции показывает соответствующую координату в выбранный момент, поэтому по формулам можно восстановить положение тела в разные моменты. Если требуется определить линию движения, время исключают из координатных уравнений. Такой способ особенно удобен, когда движение изучают относительно заданных осей.

Векторный способ задаёт положение материальной точки радиус-вектором r(t). Его начало остаётся в начале координат, а конец перемещается вслед за точкой, поэтому последовательность концов вектора показывает её движение. Вектор содержит сведения о положении сразу в пространстве: и о направлении, и об удалённости от начала координат. При этом координаты радиус-вектора — числа, а сам радиус-вектор является направленным отрезком.

Естественный способ применяют, когда траектория известна заранее и важно описать перемещение именно вдоль неё. Сначала выбирают на траектории начало отсчёта и положительное направление, а затем указывают положение точки координатой, отсчитываемой по линии. Чтобы описать движение во времени, нужно знать, как эта координата меняется. Одна лишь геометрическая форма траектории не сообщает, с какой скоростью тело проходит её участки.

Траектория получается из последовательности положений тела: если отмечать их при движении и соединить, возникнет линия, по которой оно перемещается. В координатном описании её находят, исключая время, а в векторном — рассматривая, как меняется положение конца радиус-вектора. Вид этой линии зависит от системы отсчёта, потому что положения тела относительно разных тел отсчёта могут меняться неодинаково. Например, движение предмета относительно вагона и относительно Земли обычно имеет разные траектории.

Способы описания механического движения

Выбирайте способ по тому, какие сведения о движении заданы и что требуется найти. Если известны координатные уравнения, по ним удобно находить положение и исключать время; если известна линия движения — описывать положение вдоль неё. Все три способа могут описывать одно движение, но выделяют разные его стороны.

Разбор задач

Положение по координатным уравнениям

Материальная точка движется по формулам x = 2t, y = 3t + 1. Найдите её положение в моменты времени 0 с и 2 с. Координаты задают положение точки в выбранной системе отсчёта. Чтобы получить положение в нужный момент, достаточно подставить время в каждое уравнение.

1. При t = 0 с: x = 2 · 0 = 0, y = 3 · 0 + 1 = 1.
2. При t = 2 с: x = 2 · 2 = 4, y = 3 · 2 + 1 = 7.
3. Записываем координаты в порядке x, y: в начальный момент точка находится в (0; 1), через 2 с — в (4; 7).

Ответ: при t = 0 с положение (0; 1), при t = 2 с — (4; 7).

Уравнение траектории

Движение точки задано уравнениями x = 4t, y = 2t². Получите уравнение траектории и определите её вид. В уравнениях две координаты зависят от общего времени, поэтому нужно связать x и y напрямую. Для этого выразим время через координату, формула которой проще.

1. Из уравнения x = 4t получаем t = x/4.
2. Подставляем это выражение в y = 2t²: y = 2(x/4)² = x²/8.
3. Уравнение y = x²/8 является уравнением параболы. Время исключено, поэтому формула задаёт геометрическую линию движения.

Ответ: уравнение траектории y = x²/8, траектория — парабола.

Три способа для движения по окружности

Тело движется по окружности радиуса R. Опишите его движение координатным, векторным и естественным способами. Одного условия о радиусе недостаточно, чтобы определить движение во времени: нужно также задать, как меняется положение на окружности. Для примера выберем начало координат в центре окружности и обозначим угол положения через φ(t).

1. В координатном способе: x(t) = R cos φ(t), y(t) = R sin φ(t). Эти формулы дают координаты тела в каждый момент.
2. В векторном способе: r(t) = (R cos φ(t), R sin φ(t)). Конец этого радиус-вектора перемещается по окружности.
3. В естественном способе задают окружность как траекторию и положение вдоль неё. Если s отсчитывается от выбранной точки, то φ(t) = φ₀ + s(t)/R, где φ₀ задаёт начальное положение.

Ответ: все три способа описывают положение на одной окружности; координатный использует x и y, векторный — r, естественный — траекторию и координату s. Для полного описания в каждом случае требуется зависимость положения от времени.

Типичные ошибки

Путать траекторию с пройденным путём. Траектория — линия движения, а путь — длина пройденной части линии; их смешивают, потому что оба понятия связаны с движением. Проверьте себя: если ответ выражен длиной, например в метрах, это путь, а если описана форма линии — траектория.

Описывать движение без системы отсчёта. Тогда неясно, относительно чего заданы координаты и меняется ли положение тела. Такая ошибка возникает, когда систему отсчёта считают очевидной и не называют. Проверьте, указаны ли тело отсчёта, координатные оси и способ измерять время.

Считать координаты радиус-вектором. Координаты — числа, показывающие положение по осям, а радиус-вектор имеет и модуль, и направление. Их легко спутать, поскольку координаты позволяют записать вектор в выбранных осях. Проверьте запись: пара чисел x, y — координаты, а r — обозначение вектора, соединяющего начало координат с точкой.

Считать, что траектория полностью задаёт движение. Известная линия не сообщает, как быстро и в каком порядке тело проходит её участки. Ошибка возникает из-за того, что геометрический образ принимают за полный закон движения. Проверьте, задано ли положение как функция времени или координата вдоль траектории; без этого скорость определить нельзя.

Связь с другими темами

Для работы с координатным способом нужны знания о координатной плоскости и пространственных координатах; для векторного — понимание векторов, а для обоих способов — умение рассматривать величины как функции времени. Эти инструменты понадобятся при изучении перемещения, скорости, ускорения и уравнений движения, потому что все они описывают изменения положения. Различные способы задания применяются при разборе прямолинейного, криволинейного и относительного движения.

Что запомнить

• Движение определяется только относительно выбранной системы отсчёта.
• Положение материальной точки можно задавать координатами или радиус-вектором.
• Траектория — геометрическое место последовательных положений тела.
• Координатный способ задаёт координаты как функции времени.
• Векторный способ задаёт радиус-вектор как функцию времени.
• Естественный способ описывает движение вдоль известной траектории.
• Траектория и закон движения — не одно и то же: одна и та же траектория допускает разные движения по ней.