§ 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение

Определения и обозначения

Угловое перемещение Δφ — изменение углового положения тела при повороте. Его измеряют в радианах и задают со знаком: положительное направление выбирают заранее. Эта величина нужна, чтобы описывать поворот независимо от размера тела и длины пройденной дуги.

Средняя угловая скорость ωср — отношение углового перемещения к промежутку времени: ωср = Δφ/Δt. Её единица измерения в СИ — рад/с. Она показывает, какой поворот в среднем совершался за одну секунду.

Мгновенная угловая скорость ω — предел средней угловой скорости при уменьшении промежутка времени до нуля: ω = lim Δt→0 Δφ/Δt. Она характеризует быстроту вращения в конкретный момент. С её помощью описывают движение, даже если скорость поворота постоянно меняется.

Угловое ускорение α показывает, как изменяется угловая скорость за единицу времени: α = Δω/Δt, а для данного момента α = dω/dt. Единица измерения — рад/с². По этой величине судят, ускоряется вращение или замедляется в выбранном направлении.

Как это устроено

При вращении каждая точка тела движется по дуге окружности, поэтому одного пройденного расстояния недостаточно: оно различно для точек на разных расстояниях от оси. Угол поворота одинаков для всего абсолютно твёрдого тела и не зависит от его размера. Поэтому угловое перемещение удобно использовать как общую характеристику вращения.

Чтобы определить изменение угла, выбирают начальное направление отсчёта и положительное направление вращения. Тогда поворот в одну сторону записывают со знаком «плюс», а в противоположную — со знаком «минус». Поэтому Δφ может быть как положительным, так и отрицательным, даже если величина самого поворота рассматривается по модулю.

Из определения средней угловой скорости сразу получается формула ωср = Δφ/Δt: чем больший угол пройден за то же время, тем больше скорость вращения. Знак отношения совпадает со знаком углового перемещения и показывает направление вращения. При равномерном вращении угол изменяется одинаково за равные промежутки времени, поэтому средняя скорость равна мгновенной.

Если вращение неравномерное, за конечный промежуток времени средняя скорость скрывает изменения внутри этого промежутка. Мы уменьшаем его, рассматривая всё более короткие интервалы около выбранного момента, и получаем предел. Так определяется мгновенная угловая скорость: ω = dφ/dt, то есть скорость изменения угла во времени.

Когда угловая скорость меняется, возникает угловое ускорение. Если α положительно, скорость изменяется в положительном направлении отсчёта; если отрицательно — в отрицательном. При этом отрицательное α не всегда означает замедление: нужно сравнить знаки α и ω, потому что одинаковые знаки увеличивают модуль скорости, а разные — уменьшают.

Линейные характеристики зависят от радиуса траектории. Точка на расстоянии r от оси имеет скорость по касательной v = ωr по модулю, поэтому удалённые точки движутся быстрее. Аналогично касательное ускорение связано с угловым ускорением формулой aτ = αr: при одном и том же α оно больше у точки, расположенной дальше от оси.

Угловые величины при вращательном движении

В первых четырёх строках собраны характеристики самого вращения: угол, скорость его изменения и изменение этой скорости. Последние две строки переводят угловые величины в характеристики отдельной точки тела. При использовании таблицы проверьте, что угол выражен в радианах, а радиус — в метрах.

Разбор задач

Задача 1

Колесо равномерно повернулось на 6 рад за 3 с. Нужно найти его угловую скорость. Поскольку вращение равномерное, средняя угловая скорость совпадает с мгновенной в любой момент.

1. Записываем определение: ω = Δφ/Δt.
2. Подставляем данные: ω = 6 рад/3 с = 2 рад/с.
3. Равномерность движения позволяет оставить найденное значение как постоянную угловую скорость.

Ответ: ω = 2 рад/с.

Задача 2

Точка на ободе колеса радиусом 0,4 м движется со скоростью 2 м/с. Требуется найти угловую скорость колеса. Для точки на ободе расстояние до оси равно радиусу, поэтому используем v = ωr.

1. Выражаем угловую скорость: ω = v/r.
2. Подставляем значения: ω = 2 м/с / 0,4 м = 5 с⁻¹.
3. Записываем единицу как рад/с, поскольку речь идёт об угловой скорости.

Ответ: ω = 5 рад/с.

Задача 3

За 5 с угловая скорость ротора равномерно изменилась с 4 рад/с до 14 рад/с. Нужно найти угловое ускорение и угловое перемещение. Сначала определим, насколько изменилась скорость, затем найдём среднюю скорость вращения.

1. Угловое ускорение: α = (ω₂ − ω₁)/Δt = (14 − 4) рад/с / 5 с = 2 рад/с².
2. При равномерном изменении средняя скорость равна полусумме начальной и конечной: ωср = (4 + 14)/2 = 9 рад/с.
3. Угловое перемещение: Δφ = ωсрΔt = 9 рад/с · 5 с = 45 рад.

Ответ: α = 2 рад/с², Δφ = 45 рад.

Типичные ошибки

Смешивать угловую и линейную скорость — значит забывать о радиусе. Ученик видит движение по окружности и использует одну величину вместо другой, хотя v = ωr. Проверьте себя: укажите, измеряется ли искомая величина в м/с или рад/с.

Считать угловую скорость всегда положительной ошибочно, потому что знак задаётся направлением отсчёта. Так происходит, если рассматривают только модуль поворота. Перед вычислением выберите положительное направление и сохраните знак Δφ.

Угловое ускорение иногда принимают за саму угловую скорость. Причина ошибки — похожие обозначения и единицы с разными степенями времени. Проверьте формулу: ω описывает изменение угла, а α — изменение ω.

Подстановка градусов вместо радианов нарушает формулы вращательного движения. Градусы часто используют в быту, но в формулах с ω и α нужен радианный угол. Переведите значение заранее: 180° = π рад.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны определения скорости и ускорения, а также различие между равномерным и неравномерным движением. Угловые величины строятся по тому же принципу: изменение величины делят на время.

Необходимо знать радианную меру угла и связь длины дуги с радиусом окружности: s = rφ. Она объясняет, почему при одном угловом перемещении точки на разных радиусах проходят разные расстояния.

Дальше эти понятия используются при изучении движения по окружности, вращения твёрдого тела и динамики вращения. Они помогают связать кинематику вращения с силами и моментами сил.

Что запомнить

• Средняя угловая скорость равна угловому перемещению, делённому на промежуток времени.
• Мгновенная угловая скорость описывает изменение угла в данный момент.
• Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости со временем.
• Угловая скорость и угловое ускорение измеряются соответственно в рад/с и рад/с².
• Линейная скорость точки вращающегося тела зависит от её расстояния до оси.
• Знак угловых величин определяется выбранным направлением отсчёта.