"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Преобразования Галилея связывают координаты и время одного события в двух инерциальных системах, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Они показывают, почему положение и скорость тела зависят от системы отсчёта, а время и ускорение в классической механике считаются одинаковыми. На их основе получают закон сложения скоростей и объясняют одинаковый вид законов Ньютона.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразования Галилея — формулы перехода между координатами и временем одного события в двух инерциальных системах, одна из которых равномерно движется относительно другой. Они позволяют описывать одно движение с позиций разных наблюдателей.
Инерциальная система отсчёта — система, в которой свободное тело сохраняет покой или равномерное прямолинейное движение. В такой системе справедлив первый закон Ньютона, поэтому удобно сравнивать движения и выводить общие законы механики.
Относительная скорость — скорость тела в одной системе, выраженная через его скорость в другой системе и скорость движения самих систем. Она нужна, чтобы находить, например, скорость пассажира относительно Земли по скорости пассажира относительно поезда.
Принцип относительности Галилея утверждает: механические законы имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта. Значит, никаким механическим опытом внутри равномерно движущейся системы нельзя определить, покоится она или движется равномерно.
Для вывода формул выбирают системы S и S', движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью V вдоль общей оси x. Такое условие исключает вращение осей и изменение скорости систем, поэтому можно сравнивать только действие относительного переноса. Если скорость меняется, система может оказаться неинерциальной, и простые преобразования уже не описывают ситуацию полностью.
Пусть в момент t = 0 начала координат совпадают, а затем начало S' уходит в положительном направлении на расстояние Vt. Координата тела относительно S равна x, а относительно S' — расстоянию от сместившегося начала, поэтому x' = x − Vt. Выразив x из этой формулы, получаем обратную запись x = x' + Vt.
В классической механике время считают одинаковым для всех инерциальных наблюдателей: t' = t. Движение систем задано только вдоль оси x, поэтому поперечные расстояния не меняются: y' = y и z' = z. Это классическое приближение основано на малости рассматриваемых скоростей по сравнению со скоростью света.
Чтобы получить связь скоростей, дифференцируют координатное равенство по времени: из x' = x − Vt следует v'x = vx − V, поскольку V постоянна. В обратной форме vx = v'x + V. Для поперечных направлений v'y = vy и v'z = vz, а в общем случае складывать нужно не модули, а векторы скоростей.
Ещё одно дифференцирование показывает, что a'x = ax: производная постоянной скорости V равна нулю. Аналогично не меняются поперечные составляющие ускорения, поэтому a' = a. Если силы в классических системах одинаковы, то из F = ma следует F' = ma', и законы Ньютона сохраняют один и тот же вид.
В таблице штрих обозначает величину, измеренную в системе S'. Сначала определите направление относительного движения и знак V, затем выберите нужную строку: для движения под углом применяйте связи для каждой координатной составляющей.
| Величина или свойство | Связь между системами S и S' | Физический смысл |
|---|---|---|
| Координата вдоль направления относительного движения | x' = x − Vt; x = x' + Vt | Положение тела зависит от выбора системы отсчёта |
| Поперечные координаты | y' = y, z' = z | При движении систем вдоль оси x поперечные координаты не изменяются |
| Время | t' = t | В классической механике время считается абсолютным |
| Скорость вдоль оси x | v'x = vx − V; vx = v'x + V | Скорости складываются по классическому правилу |
| Скорость поперёк направления движения | v'y = vy, v'z = vz | Поперечные составляющие скорости одинаковы в обеих системах |
| Ускорение | a' = a | Ускорение не зависит от выбора инерциальной системы |
| Законы механики | F' = ma' при F' = F | Законы Ньютона имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах |
Поезд движется относительно Земли со скоростью 20 м/с, пассажир идёт по вагону вперёд со скоростью 1,5 м/с относительно поезда. Требуется найти скорость пассажира относительно Земли. Направления движения совпадают, поэтому скорости складываются с одинаковым знаком.
Ответ: скорость пассажира относительно Земли равна 21,5 м/с.
Катер движется относительно воды со скоростью 8 м/с, а течение направлено перпендикулярно его курсу и имеет скорость 3 м/с. Скорость относительно берега является векторной суммой этих взаимно перпендикулярных скоростей. Поэтому её направление не совпадает с направлением катера относительно воды.
Ответ: скорость катера относительно берега примерно 8,54 м/с, направление отклонено от курса на 20,6° в сторону течения.
В системе S тело движется по закону x = 4t² + 6t, а S' перемещается относительно S со скоростью 5 м/с вдоль положительного направления x. Нужно найти закон движения, скорость и ускорение в S'. Используем x' = x − Vt и сохраняем одинаковое время.
Ответ: x' = 4t² + t, v' = 8t + 1 м/с, a' = 8 м/с².
Знак в формуле x' = x − Vt меняют на плюс без указания направления движения S'. Ошибка возникает, когда формулу запоминают отдельно от рисунка или выбранной оси; проверяйте её по положению начала S' в момент t.
Считают, что время в системах обязательно различается. Так смешивают преобразования Галилея с преобразованиями Лоренца; в классической механике сначала записывают t' = t.
Складывают модули скоростей при движении под углом. Нужно складывать векторы или их составляющие, а затем вычислять результирующий модуль.
Утверждают, что ускорение зависит от инерциальной системы. Проверьте себя двойным дифференцированием: постоянная V исчезает, поэтому a' = a.
Для понимания темы нужны система отсчёта, координаты, скорость, ускорение, относительное движение и законы Ньютона. Преобразования помогают решать задачи о поездах, лодках, самолётах и других движущихся объектах. Позже они подготовят переход к специальной теории относительности, где классические формулы имеют ограничения.
Почему координаты тела меняются при переходе в другую систему отсчёта, а время — нет?
Координата показывает положение тела относительно выбранного начала отсчёта, а начала систем за время t смещаются друг относительно друга на Vt. В классической механике предполагается, что время течёт одинаково для всех инерциальных наблюдателей, поэтому t' = t.
Как правильно выбрать знак относительной скорости в формуле преобразований Галилея?
Сначала задайте положительное направление оси x и укажите, куда движется начало S' относительно S. Если S' движется в положительном направлении со скоростью V, то x' = x − Vt; при движении в противоположную сторону знак меняется.
Почему скорости зависят от системы отсчёта, а ускорение при этом не меняется?
При переходе между системами к скорости тела прибавляется или вычитается постоянная скорость движения самих систем. Производная постоянной равна нулю, поэтому после дифференцирования получается a' = a.
Можно ли применять закон сложения скоростей к движению под углом?
Да. Скорости складываются как векторы: отдельно складываются их составляющие по выбранным осям, а затем по ним находят модуль и направление результирующей скорости.
Чем преобразования Галилея отличаются от преобразований Лоренца?
Преобразования Галилея считают время абсолютным и подходят для скоростей, малых по сравнению со скоростью света. Преобразования Лоренца учитывают постоянство скорости света и релятивистские эффекты, включая зависимость времени и координат от движения наблюдателя.
§ 1.30. Преобразования Галилея и их следствия
