§ 3.6. Сила тяжести. Центр тяжести

Определения и обозначения

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает тело. Её обозначают Fтяж, а вблизи поверхности Земли вычисляют по формуле Fтяж = mg. Сила тяжести нужна, чтобы описывать падение, движение и равновесие тел.

Ускорение свободного падения — ускорение, сообщаемое телу силой тяжести, если другие силы отсутствуют или ими пренебрегают. Его обозначают g и направляют к центру Земли. У поверхности планеты g ≈ 9,8 м/с², поэтому это число используют в большинстве задач.

Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на отдельные части тела. Иначе говоря, все эти силы можно заменить одной силой, приложенной в данной точке. Понятие центра тяжести упрощает расчёты движения и равновесия сложных тел.

Однородное поле тяжести — поле, в котором сила тяжести на единицу массы одинакова по величине и направлению во всех точках рассматриваемого тела. Вблизи поверхности Земли поле часто считают однородным. Это приближение позволяет складывать силы тяжести частей тела как параллельные силы.

Как это устроено

Сила тяжести имеет гравитационную природу: Земля притягивает к себе все тела, обладающие массой. У поверхности планеты направления к её центру для близких точек почти совпадают, поэтому силу тяжести считают вертикальной и направленной вниз. При больших расстояниях это приближение становится менее точным: направления сил в разных точках уже заметно различаются.

Формула Fтяж = mg следует из второго закона Ньютона. Для тела, на которое действует только сила тяжести, имеем F = ma, а ускорение a равно g, поэтому после подстановки получаем Fтяж = mg. Значение g зависит от места: оно меняется с высотой, широтой и свойствами небесного тела, но у поверхности Земли обычно берут 9,8 м/с².

Каждая малая часть тела испытывает действие силы тяжести. В однородном поле эти силы параллельны и имеют одинаковое направление, а их модули пропорциональны массам частей. Поэтому их можно заменить одной равнодействующей, равной по модулю сумме сил; точку её приложения называют центром тяжести.

У однородного тела с симметричной формой центр тяжести совпадает с геометрическим центром или осью симметрии. Это происходит потому, что симметрично расположенные части имеют одинаковые массы и взаимно уравновешивают моменты сил относительно центра. Для сложного тела положение центра тяжести определяется распределением массы: более массивные участки смещают его в свою сторону.

Простые тела удобно анализировать по симметрии, а составные — разбивать на части и выполнять расчёт. Экспериментально плоское тело подвешивают за выбранную точку: центр тяжести лежит на вертикали, проведённой через точку подвеса. Если повторить подвешивание за другую точку, пересечение двух вертикалей укажет искомое положение.

Сила тяжести и центр тяжести

Таблица помогает быстро сопоставить термин, обозначение, формулу и физический смысл. При решении задачи сначала найдите нужную характеристику, затем проверьте единицы измерения и направление силы. Для центра тяжести отдельно учитывайте форму тела и способ его определения.

Разбор задач

Задача 1. Сила тяжести тела

Тело имеет массу 2 кг и находится у поверхности Земли. Нужно найти силу тяжести, если g = 9,8 м/с². Результат следует указать с направлением.

1. Масса уже дана в единицах СИ: m = 2 кг.
2. Используем формулу Fтяж = mg.
3. Подставляем значения: Fтяж = 2 кг · 9,8 м/с² = 19,6 Н.
4. Направление силы — к центру Земли, то есть вертикально вниз у поверхности планеты.

Ответ: Fтяж = 19,6 Н, сила направлена к центру Земли.

Задача 2. Определение центра тяжести подвешенной пластинки

Однородную прямоугольную пластинку подвешивают сначала за одну точку, затем за другую. Для каждого положения через точку подвеса проводят вертикаль по отвесу. Требуется определить центр тяжести по полученным линиям.

1. При первом подвешивании сила тяжести создаёт момент, из-за которого пластинка поворачивается.
2. После остановки центр тяжести оказывается прямо под точкой подвеса, поэтому проводим первую вертикаль.
3. Повторяем опыт с другой точкой и проводим вторую вертикаль.
4. Точка пересечения двух вертикалей одновременно принадлежит линии действия силы тяжести в обоих положениях.

Ответ: центр тяжести находится в точке пересечения нанесённых вертикалей. Для однородной прямоугольной пластинки эта точка совпадёт с пересечением её диагоналей.

Задача 3. Составная пластинка

Тонкая однородная пластинка состоит из двух прямоугольных частей с площадями S₁ и S₂. Координаты их центров тяжести равны (x₁, y₁) и (x₂, y₂), а плотность и толщина у частей одинаковы. Нужно найти координаты общего центра тяжести относительно заданных осей.

1. При одинаковой плотности и толщине массы частей пропорциональны площадям: m₁ : m₂ = S₁ : S₂.
2. Координата x общего центра тяжести является взвешенным средним: xц = (S₁x₁ + S₂x₂)/(S₁ + S₂).
3. Аналогично находим вторую координату: yц = (S₁y₁ + S₂y₂)/(S₁ + S₂).
4. Проверяем результат: центр должен лежать между центрами частей, причём быть ближе к части с большей площадью.

Ответ: координаты центра тяжести равны xц = (S₁x₁ + S₂x₂)/(S₁ + S₂) и yц = (S₁y₁ + S₂y₂)/(S₁ + S₂). Такой способ является расчётным применением правила равнодействующей.

Типичные ошибки

Сила тяжести и вес. Эти силы считают одинаковыми, потому что в покоящемся теле на горизонтальной опоре их модули совпадают. Но сила тяжести действует на тело со стороны Земли, а вес действует со стороны тела на опору или подвес. Проверьте себя вопросом: «На какое тело действует рассматриваемая сила?»

Неверное направление силы. Иногда силу направляют вверх или связывают с направлением движения тела. Сила тяжести всегда направлена к Земле, даже если тело движется вверх или падает вниз. Нарисуйте ось и мысленно проведите стрелку к центру планеты.

g считают одинаковым везде. Число 9,8 м/с² — удобное приближение для поверхности Земли, а не универсальная константа. Ускорение меняется с местом и отличается на других небесных телах. Уточните в условии задачи, какое значение g нужно использовать.

Центр тяжести обязательно находится внутри тела. Такое представление не подходит для колец, рамок и тел с полостями. Центр тяжести может лежать в области, где вещества нет. Проверьте форму тела и не подменяйте физическую точку обязательной материальной частью.

Связь с другими темами

Для вывода формулы Fтяж = mg нужны второй закон Ньютона, понятия массы, силы и равнодействующей. Также важно отличать массу от веса: масса характеризует тело, а вес зависит от взаимодействия с опорой или подвесом.

Центр тяжести используется при изучении равновесия и устойчивости тел: положение этой точки влияет на возможность опрокидывания. Сила тяжести понадобится в задачах о падении, бросках и движении тел у поверхности Земли.

Что запомнить

• У поверхности Земли сила тяжести по модулю равна mg.
• Сила тяжести направлена к центру Земли.
• Ускорение свободного падения у поверхности Земли приблизительно равно 9,8 м/с².
• Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на тело.
• Для однородного симметричного тела центр тяжести совпадает с центром симметрии.
• При подвешивании тела центр тяжести лежит на вертикали, проведённой через точку подвеса.